本文介绍了一篇发表于《Journal of the Franklin Institute》的科研论文，题目为“Output Feedback Tracking Control for Polynomial Nonlinear Systems with Measurement Noises and Mismatched Disturbances”。本文由Yuhan Ma、Ming Gao、Yichun Niu、Shiyang Liu和Li Sheng撰写，研究隶属于中国石油大学（华东）控制科学与工程学院，于2022年12月13日正式在线发表。
非线性控制在过去几十年中因其在航空航天、机械、化工和电气工程领域的广泛应用而备受关注。多项式非线性系统（Polynomial Nonlinear Systems, PNSS）是一类模型包含多项式非线性函数的特殊系统，在实际中具有广泛应用。例如，永磁同步电机、非线性弹簧阻尼系统以及无人机的动力学特性都可以通过PNSS进行建模。研究这类系统的控制问题对于提升其性能具有重要意义。
尽管已有许多基于Lyapunov稳定性理论的控制方法被提出，现有文献多集中于假设系统状态可测以设计状态反馈控制器。然而，由于测量设备成本及实际应用中的噪声问题，完全获取系统状态并不总是可行。此外，现有研究对不匹配外部扰动的处理存在局限，如何在PNSS中同时应对测量噪声和不匹配扰动以保证闭环系统的稳定性仍然是一个未解决的问题。
为填补这一研究空白，本文提出了一个新颖的输出反馈跟踪控制框架，旨在解决PNSS在测量噪声和不匹配扰动环境下的控制问题。
本文针对PNSS提出了如下数学模型： $$ \dot{x} = f(x) + b u + d, \quad y = c x + g v $$ 其中，$x$为状态变量，$u$为控制输入，$y$为测量输出，$v$为测量噪声，$f(x)$是已知的多项式非线性函数，$d$是外部扰动。模型考虑了不匹配扰动和有界测量噪声的影响。
为估计不可测状态和不匹配扰动，本文提出了一种基于泰勒展开的一阶线性化多项式观测器。通过将高阶非线性项视为不确定函数，观测器采用时间相关的参数矩阵以提高估计精度。
观测误差系统被建模为： $$ \dot{e} = (f_1(\hat{x}) - l(\hat{x}) \bar{c}) e + \Phi(\hat{x}) \xi + (\bar{d} - l(\hat{x}) g) \bar{v} $$ 其中，$l(\hat{x})$为观测器增益矩阵，$\Phi(\hat{x})$为不确定矩阵。
基于Backstepping方法，本文设计了一个命令滤波器辅助的输出反馈控制器（Command Filter-Based Output Feedback Backstepping Controller, CFOFBC）。该控制器通过引入补偿信号有效避免了虚拟控制信号和测量噪声的重复导数计算。
控制器的设计包括以下步骤： - 定义补偿跟踪误差，并逐步设计虚拟控制律和实际控制律； - 通过李雅普诺夫函数分析跟踪误差和估计误差的有界性； - 使用参数依赖线性矩阵不等式（Parameter-Dependent Linear Matrix Inequality, PDLMI）确保闭环系统稳定。
本文通过PDLMI和求和平方分解技术（Sum of Squares Decomposition, SOS），证明了估计误差和跟踪误差在闭环系统中均为有界，并提供了控制参数的求解方法。
为了验证所提方法的有效性，本文以动态点位导向可旋转钻井工具系统（Dynamic Point-the-Bit Rotary Steerable Drilling Tool System, DPRSDTS）为例进行了仿真研究。该系统模型包括钻头方向角、转速、电机定子电流等状态变量，同时考虑了测量噪声和不匹配扰动。仿真结果表明： - 多项式观测器能够有效估计状态和扰动； - 提出的CFOFBC方法能够显著改善跟踪精度； - 相较于传统Backstepping控制方法，CFOFBC在处理测量噪声时表现更为优越。
本文的主要贡献与结论包括： 1. 创新性方法：首次研究了带有测量噪声和不匹配扰动的PNSS输出反馈跟踪控制问题。 2. 控制器设计：提出了一种新颖的基于多项式观测器的输出反馈Backstepping控制器，能够有效抑制测量噪声和补偿不匹配扰动。 3. 数学保证：通过PDLMI和SOS分解技术，证明了控制器设计的充分条件，确保了闭环系统的稳定性。 4. 实用性验证：通过DPRSDTS实例，证明了所提方法的可行性与有效性，尤其在处理大幅度不匹配扰动时表现突出。
本文的研究对PNSS的控制理论和工程实践具有重要意义： - 从理论上扩展了输出反馈控制的研究范围，将其应用于多项式非线性系统； - 提供了一种应对实际测量噪声和不匹配扰动的有效方法，为复杂系统控制的实际应用提供了参考。
未来研究可进一步探讨PNSS中故障容错控制的实现方法，尤其是在测量噪声和不匹配扰动环境下的应用潜力。