这篇文档属于类型a，即报告了一项原创性研究。以下是针对该研究的学术报告：
作者与机构
本研究由H.J. Sussmann（芝加哥大学数学系）和V. Jurdjevic（多伦多大学数学系）合作完成，发表于1972年的《Journal of Differential Equations》第12卷，页码95-116。
学术背景
该研究属于非线性控制理论（nonlinear control theory）领域，核心目标是建立非线性系统的可控性（controllability）判据。传统控制理论主要研究线性系统（如Kalman的工作），而实际工程问题中许多系统本质上是非线性的（如机械系统、机器人动力学）。然而，非线性系统的可控性分析缺乏普适理论，尤其是针对非对称系统（nonsymmetric systems）（即不满足 ( f(x, -u) = -f(x, u) ) 的系统）。
研究基于微分几何（differential geometry）和李代数（Lie algebra）工具，受Chow定理和Lobry前期工作的启发，旨在解决以下问题：
1. 如何通过系统函数 ( f ) 及其在点 ( x ) 处的导数，定性描述从 ( x ) 出发的可达集（attainable sets）的几何结构；
2. 如何判断可达集是否具有非空内部（即系统是否具有可达性（accessibility）或强可达性（strong accessibility））；
3. 如何将结果推广到李群（Lie groups）等非欧几里得流形上的控制问题。
研究流程与方法
1. 理论基础构建
- 研究对象：定义在解析流形 ( M ) 上的非线性控制系统 ( \frac{dx}{dt} = f(x, u) )，其中状态变量 ( x ) 取值于 ( M )，控制输入 ( u ) 属于局部路径连通集 ( \Omega )。
- 关键假设：
- ( f ) 对 ( x ) 解析（analytic），确保系统行为完全由 ( f ) 及其各阶导数决定；
- 系统轨迹全局定义（避免局部解带来的复杂性）。
- 工具：
- 李代数生成：通过向量场集合 ( D = { f(\cdot, u) \mid u \in \Omega } ) 生成李代数 ( \mathcal{L}(D) )，并定义其子代数 ( \mathcal{L}_0(D) )（包含李括号和满足 ( \sum a_i = 0 ) 的线性组合）。
- 积分流形：利用Chow定理和Lobry的积分流形理论，分析可达集的几何结构。
2. 主要定理证明
- 定理3.1：若 ( \dim \mathcal{L}(D)(x) = \dim M )，则从 ( x ) 出发的可达集 ( L_x(D) ) 在 ( M ) 中具有非空内部，且对任意 ( t > 0 )，( L_x(D, t) ) 的内部在 ( L_x(D, t) ) 中稠密。
- 证明方法：通过对称化 ( D )（添加 ( -D )），利用解析映射的Sard定理和秩条件，构造局部可达性。
- 定理3.2：强可达性的判据为 ( \dim \mathcal{L}_0(D)(x) = \dim M )，表明时间精确控制下的可达性。
- 证明方法：将系统提升到 ( M \times \mathbb{R} ) 空间，利用 ( D^* = { f \oplus \frac{\partial}{\partial t} \mid f \in D } ) 的可控性分析。
3. 应用与推广
- 推论4.6-4.7：将理论结果转化为代数判据，适用于实际计算。例如，线性系统 ( \dot{x} = Ax + Bu ) 的可控性等价于Kalman秩条件。
- 全局结果（定理4.9-4.10）：证明在紧流形（如球面 ( S^n )）或基本群无无限阶元素的流形（如 ( \mathbb{R}^n )）上，可达性隐含强可达性或可控性。
主要结果
- 几何结构刻画：可达集 ( L_x(D, t) ) 是积分流形 ( I(D, x) ) 的子集，其内部非空当且仅当 ( \dim \mathcal{L}(D)(x) = \dim M )。
- 非对称系统处理：通过引入 ( \mathcal{L}_0(D) )，解决了Lobry提出的非对称系统难题（如机械系统中的 ( \dot{x} = A(x) + B(x)u )）。
- 李群应用：结果可直接推广到李群上的控制问题，为Brockett的早期工作提供理论支持。
结论与价值
- 理论价值：
- 首次系统建立了非线性系统可控性的微分几何框架，统一了对称与非对称系统的分析；
- 提出的 ( \mathcal{L}_0(D) ) 概念成为后续强可达性研究的核心工具。
- 应用价值：
- 为机械系统、机器人路径规划等非对称控制问题提供判据；
- 示例5.2展示了如何将结果应用于矩阵李群（如 ( GL(n, \mathbb{R}) )）上的控制。
研究亮点
- 创新方法：
- 结合解析性与李代数，避免了光滑系统可能存在的“局部可控但全局不可控”问题（如示例5.3的反例）；
- 通过提升空间 ( M \times \mathbb{R} ) 将非自治系统转化为自治系统处理。
- 重要发现：
- 揭示了可达集与积分流形的深层联系，证明其“几乎”是子流形；
- 发现紧流形上可达性自动隐含强可达性的拓扑约束。
其他价值
- 文中示例5.1-5.3直观对比了线性、非线性和非解析系统的行为差异，凸显解析性假设的必要性；
- 对Kucera的已有工作（如双线性系统）进行了推广和修正（见第4节末尾）。
此报告完整覆盖了研究的背景、方法、结果与意义，可作为同行理解该经典文献的参考。