本文发表于 *Journal of Physics: Condensed Matter*，属于 Topical Review，由 Federico Escudero、Francisco Guinea 和 Zhen Zhan 撰写，作者分别来自 IMDEA Nanoscience（西班牙马德里）和 Donostia International Physics Center（西班牙圣塞巴斯蒂安）。文章于 2025 年 11 月 7 日收到，2026 年 2 月 26 日接受，2026 年 3 月 9 日在线发表。
本篇综述系统回顾了二维材料莫尔异质结中应变（strain）的几何描述、理论框架和实验实现方法。文章从线性弹性理论出发，讨论了单轴、剪切和双轴应变三种常见类型，并将其应用于扭转（twist）和应变共同作用下的莫尔超晶格，重点分析了六角同质双层、六角异质双层以及单斜晶格中的莫尔几何性质。随后，文章预测了由应变和扭转调控产生的特殊莫尔几何，例如准一维图案、方形图案和六角图案，并总结了近年来实现这些几何构型的实验应变技术和典型结果。文章的核心目标是为读者提供一个系统的几何描述框架，阐明应变如何与扭转相互耦合，从而改变莫尔超晶格的周期、对称性和电子特性。
文章首先阐明了研究背景。莫尔超晶格由于能够将原子尺度的晶格失配放大为纳米尺度的周期结构，成为研究关联电子态的重要平台。例如，在约 1.1° 魔角扭转双层石墨烯（twisted bilayer graphene，TBG）中，莫尔周期在 14 nm 左右，诱导出平带（flat band），并由此产生关联绝缘态、超导电性、铁电性和量子反常霍尔效应等现象。在这些体系中，应变是一个特别重要的调控手段。与仅有扭转的情形不同，应变引起的晶格形变可以显著改变莫尔几何。由于莫尔放大效应，即使各层材料仅发生极小形变，超晶格的形状和尺寸也可能发生剧烈变化。因此，准确理解应变与扭转的相互作用如何决定莫尔几何，是进一步探索应变调控电子性质的基础。
文章的主体部分围绕线性弹性理论展开。在二维材料中，通常只考虑面内应力和面内位移，忽略面外褶皱。位移场定义为变形前后位置之差，应变张量在小变形极限下可近似为位移梯度对称部分。应力张量与应变张量通过广义胡克定律联系，对各向同性材料由 Lamé 系数表示。在均匀应变假设下，文章详细讨论了三种应变类型。单轴应变沿固定方向施加，其纵向应变和横向收缩由杨氏模量和泊松比（Poisson’s ratio）描述；剪切应变不改变材料面积，由剪切模量描述；双轴应变沿各个方向均匀缩放，不改变晶胞形状。这些基本应变类型构成本文后续分析莫尔几何的基础。
文章将线性弹性理论应用于扭转和应变的莫尔体系。对于六角同质双层，晶格矢量在每一层中经旋转和应变变换，莫尔矢量通常由两层倒格矢之差定义。然而，在应变存在时，最小莫尔矢量不一定由原始倒格矢直接相减得到，可能需要考虑倒格矢的线性组合。文章指出，这种不同构型的莫尔矢量与底层六角对称性相关，通过 60° 平移可以还原所有对称相关解。进一步，通过定义变换矩阵 t 和对称矩阵 f = t t^T，可以分析莫尔矢量的长度比和夹角。仅旋转时，f 为球形张量，不会改变莫尔矢量夹角；加入非球形应变张量后，莫尔夹角和长度可以显著改变。一个关键结论是，应变与扭转角之比在小角度下放大了莫尔几何响应：所需改变莫尔几何的应变大小与扭转角近似成正比，因此在小扭转角下，极小的应变即可产生剧烈的几何变化。
在具体的应变类型中，单轴应变是最常见的一种。文章给出在对称配置下，单轴异质应变形成的莫尔矢量的角度和长度的解析表达式，并展示了如何在给定目标角度下求解所需应变大小和方向。对于剪切应变，其变换矩阵 f 包含一个非球形项，因此也可改变莫尔几何。双轴应变保持六角对称，只改变莫尔矢量的长度和方向。当剪切和双轴应变同时出现时，存在一个与单轴应变精确等价的关系：通过参数映射可以将剪切+双轴应变体系映射到有效单轴应变体系，且有效泊松比由剪切和双轴应变之比决定。这种对应关系为实验上设计不同几何构型提供了更大的自由度。
文章还将分析推广到六角异质双层。对于晶格常数不同的两层六角材料，可通过引入等效双轴应变来统一描述，并用广义变换矩阵 t_h 替代原变换矩阵。以 WSe₂ 同质双层和 MoSe₂–WSe₂ 异质双层为例，文章展示了莫尔矢量长度和夹角随扭转角和应变大小的变化。在双轴应变下，莫尔长度在特定条件下发散，对应无莫尔图案；在单轴应变下，发散曲线呈直线，代表准一维通道的形成。同质双层与异质双层的主要区别在于晶格失配使不同几何构型的临界曲线发生移动，通常需要更大的扭转和应变才能实现特定几何。对于任意单斜晶格，文章也给出了一般解析表达式，可计算莫尔矢量、面积和夹角。
文章进一步专门讨论了三类特殊莫尔图案。第一类是准一维图案。当变换矩阵 t 的行列式为零时，莫尔矢量共线，体系在实空间形成准一维通道。对于单轴异质应变，临界应变为 ε_c = ±2 tan(θ/2)/√(3 - ν²)，在小角度下约与 θ 成正比。对于剪切和双轴应变组合，也存在类似临界条件，甚至在 θ = 0 时，只要剪切应变与双轴应变大小相等，也能形成一维图案。临界点附近莫尔长度发散，但通道宽度保持有限。第二类是方形图案。方形条件要求两个莫尔矢量等长且垂直，可由变换矩阵满足特定条件得到。在单轴应变下，方形解所需的应变约为 0.94 tan(θ/2)，在 θ = 0.38° 时约 0.3%，与实验结果一致。第三类是六角图案。无应变时六角图案自然出现；在有应变时，只要莫尔矢量夹角为 60°，仍可保持六角对称性。特别的，纯剪切或纯双轴应变本身也能产生六角莫尔图案，因为对应变换矩阵为球形张量。当应变大小等于 2 sin(θ/2) 时，纯应变产生的六角莫尔周期与纯扭转产生的相同。虽然大尺度下三者接近，但原子尺度形变截然不同，从而影响电子结构。
文章还讨论了莫尔布里渊区（moiré Brillouin zone，MBZ）的构造。仅在无应变的纯扭转情况下，莫尔矢量的夹角恒为 120°，此时由标准公式可唯一确定 MBZ。在应变存在时，莫尔矢量不再保持 120° 夹角，若仍用无应变公式将得到错误的拉伸六边形，而非真正的第一布里渊区。对于等长莫尔矢量的一般情况，文章给出了推广公式，可构造任意夹角下的正确 MBZ。值得注意的是，应变会使体系失去部分对称性，MBZ 边界不再必然对应高对称点，狄拉克点的位置也可能偏离 MBZ 顶点。
文章简要提及晶格弛豫（lattice relaxation）效应。在实际体系中，材料会通过原子重排来降低能量，尤其是在极小扭转角下，AA 堆叠区域收缩、AB/BA 区域扩展并形成畴壁（domain wall）。这种弛豫会引入内禀的非均匀应变，因此均匀应变假设只是理想化近似。文章还回顾了从扫描隧道显微镜（STM）图像中提取扭转角和应变参数的几种方法，例如基于傅里叶分析的 Wood 标记法、基于莫尔波长逆向拟合的方法，以及无需预先假设应变类型的最小化程序。这些方法对于无法主动控制应变的样品具有重要意义。
在实验实现方面，文章总结了三种常用应变技术：基底弯曲法（substrate out-of-plane bending）、工艺诱导应变法（process-induced strain）和滑动基底法（sliding-based strain）。基底弯曲法通过弯曲柔性基底在二维材料中产生面内应变，应变范围可达约 2.5%；工艺诱导应变法则利用器件制造过程中的应力积累实现约 3% 的应变；滑动基底法通过相对滑动不同层实现约 0.81% 的应变。不同方法各有优缺点，分别适用于不同类型的莫尔材料。
本篇综述的价值在于，它将应变下的莫尔几何问题系统化为一个解析可解的线性弹性问题，使研究者能够根据目标几何逆向设计所需的扭转和应变参数。文章不仅整合了已有理论结果，还通过对同质、异质和单斜晶格的统一处理，为应变调控莫尔超晶格提供了完整的几何语言。在应用层面，准确的几何描述是构建连续模型、预测电子性质以及解释实验观测的基础，尤其是在应变诱导的准一维通道、方形图案和六角图案等特殊构型中。总体而言，这篇文章为从事莫尔材料理论和实验研究的学者提供了一个清晰且全面的参考框架。