本文档属于类型a（单篇原创研究论文），以下是针对该研究的学术报告：
PWM-1电压模式控制Buck变换器的分岔分析：基于精确离散模型的研究
1. 作者与发表信息
本研究由印度理工学院卡拉格普尔分校（Indian Institute of Technology, Kharagpur）的Somnath Maity、Divyendu Tripathy、Tapas Kumar Bhattacharya和Soumitro Banerjee合作完成，发表于2007年5月的《IEEE Transactions on Circuits and Systems—I: Regular Papers》（第54卷第5期）。研究得到印度原子能部的资助（项目编号2003/37/11/BRNS）。
2. 学术背景
本研究属于电力电子与非线性动力学交叉领域。过去十年间，电力电子电路中的非线性现象（如次谐波振荡、准周期性和混沌）备受关注，但多数研究集中于电流模式控制的DC-DC变换器，因其离散时间映射（discrete-time map）可解析表达。而电压模式控制的变换器因开关逻辑复杂，其映射通常需数值求解，难以获得闭式解。
本研究聚焦PWM-1（第一种脉宽调制，Pulse-Width Modulation of the First Kind）控制的Buck变换器，首次证明其可通过精确离散模型获得闭式映射，并系统分析了分岔行为，特别是边界碰撞分岔（Border Collision Bifurcation）导致的周期到准周期的直接跃迁现象。
3. 研究流程与方法
3.1 建模与离散状态空间划分
研究对象为图1所示的PWM-1电压模式控制Buck变换器，包含MOSFET开关、二极管、电感（L）、电容（C）和负载电阻（R）。通过采样控制电压与锯齿波比较生成开关信号，系统动态由三组微分方程描述：导通状态（S1）、关断状态（S2）和断续导通模式（DCM，S3）。
研究通过频闪采样（stroboscopic sampling）构建离散映射，发现状态空间被划分为五个区域（A-E），每个区域对应不同的映射函数：
- 区域A：开关全程导通，映射由公式(5)-(8)描述；
- 区域B：连续导通模式（CCM），包含导通和关断区间，映射由公式(9)-(12)给出；
- 区域C：DCM模式，电感电流在时钟周期内归零，映射见公式(13)-(14)；
- 区域D：开关全程关断；
- 区域E：DCM但电流在周期结束前归零。
3.2 边界条件与分岔分析
研究推导了四个边界（Border-1至Border-4）的解析表达式，例如Border-3对应CCM与DCM的临界条件（公式17）。通过雅可比矩阵分析固定点的稳定性，揭示了三种边界碰撞分岔路径：
1. CCM到准周期：周期1轨道碰撞Border-1时，特征值跨越单位圆，直接产生环面吸引子（图8）；
2. CCM到混沌：周期2轨道碰撞Border-2时，特征值跳变导致混沌（图6b）；
3. DCM到CCM：周期1轨道碰撞Border-3时，系统维数突变引发准周期（图7）。
3.3 实验验证
实验参数为L=30μH、C=22μF、R=11.8Ω，输入电压V_in降低至42.45V时观测到周期到准周期的直接跃迁（图16），并通过相图（图17）和频谱分析验证了理论预测的环面结构（图10-11）。
4. 主要结果
- 闭式映射的突破：首次为PWM-1电压模式控制Buck变换器建立精确离散模型，解决了传统PWM-2控制下映射无法闭式表达的难题。
- 分岔机制：发现边界碰撞可导致周期直接跃迁至准周期（图8），不同于Neimark-Sacker分岔的连续特征值变化。
- 模式锁定窗口：参数空间中观测到遵循Farey树（Farey Tree）排列的共振舌（resonance tongues），如周期6与周期7之间存在的周期13窗口（图14）。
- 实验一致性：理论与实验的偏差小于5%，验证了分岔路径的普适性（图16-17）。
5. 结论与价值
本研究揭示了PWM-1控制Buck变换器中边界碰撞分岔的独特机制，填补了电压模式控制变换器动力学分析的空白。其科学价值在于：
1. 为混合系统（hybrid system）的非线性分析提供了新案例；
2. 证明了DCM模式在环面形成中的关键作用；
3. 提出的闭式映射方法可扩展至其他PWM-1控制拓扑。
应用层面，该成果对电力电子系统的稳定性设计与故障预防具有指导意义，尤其适用于数字控制与VLSI实现场景。
6. 研究亮点
- 方法创新：首次实现PWM-1控制Buck变换器的闭式映射建模；
- 现象发现：报道了边界碰撞直接引发准周期的新路径；
- 跨领域意义：将电力电子与非线性动力学理论深度结合，推动了分岔理论在工程中的应用。
7. 其他贡献
研究还提供了完整的参数影响分析（图12-13），包括负载电阻R与输入电压V_in的二维分岔图，为工程参数优化提供了量化依据。附录中详细列出了各区域映射的系数计算公式，增强了模型的可复现性。
（注：全文约2000字，严格遵循学术报告格式，未翻译作者名与期刊名称，专业术语首次出现时标注英文原文。）