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关于任意采样傅里叶变换及其在磁场正演建模中应用的学术研究报告

一、 研究作者、机构与发表信息

本研究由戴士坤、张颖、李昆、陈清睿和凌佳轩共同完成。主要研究人员来自中南大学有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室、中南大学地球科学与信息物理学院，以及西南石油大学地球科学与技术学院。通讯作者为张颖。该研究成果以题为《Arbitrary Sampling Fourier Transform and its Applications in Magnetic Field Forward Modeling》的学术论文形式，于2022年12月11日发表于国际开源期刊《Applied Sciences》（卷12，期24，文章编号12706）上。

二、 学术背景与研究目的

本研究的主要科学领域是地球物理勘探中的数值计算与信号处理。傅里叶变换作为一种将信号从空间域/时间域转换到波数域/频率域的核心数学工具，在地球物理数值模拟（如求解偏微分方程）和反演成像中扮演着至关重要的角色。然而，传统傅里叶变换算法在实际应用中面临若干挑战： 1. 标准快速傅里叶变换（Standard-FFT）：要求均匀采样，且存在明显的边缘效应和频谱混叠问题，影响计算精度。 2. 高斯快速傅里叶变换（Gauss-FFT）：通过偏移采样减弱了边缘效应，但导致波数总数增加，计算效率下降，且同样需要均匀采样。 3. 非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）：虽然实现了非均匀采样，但计算效率和精度仍有提升空间，且同样受边缘效应影响。

因此，本研究旨在开发一种新型的、能够兼顾高精度、高效率并克服上述缺点的傅里叶变换算法。具体目标包括：提出一种能够灵活（任意）采样的傅里叶变换算法；确保该算法无边缘效应；将其应用于复杂地质体的三维磁场正演建模中，验证其在连续介质、弱磁突变介质和强磁突变介质等不同情况下的适应性和优越性。

三、 详细研究流程与方法

本研究主要包括两大核心流程：新算法的提出与验证，以及新算法在地球物理正演问题中的应用与评估。

流程一：任意采样傅里叶变换（AS-FT）算法的构建与验证 1. 核心思想：将连续的傅里叶变换积分离散化为有限个单元积分的和。在每个积分单元内，使用形函数插值（本研究以二次形函数为例）来近似表示原函数的变化。结合傅里叶变换核函数（自然指数函数），推导出每个单元积分的半解析解。最后，将所有单元积分的半解析解累加，得到整个积分区间的傅里叶变换结果。 2. 一维AS-FT算法：首先对一维傅里叶变换进行上述离散化。在每个包含三个节点（两端点及中点）的单元中，利用二次形函数表示函数值，并推导出傅里叶变换的节点系数公式。当波数不为零时，节点系数具有包含指数项的解析表达式；当波数为零时，节点系数有简化的积分结果。所有单元的贡献求和即得最终变换结果。逆变换过程形式类似。 3. 多维扩展：基于一维AS-FT，通过多次一维积分实现多维变换。二维傅里叶变换通过先后对x和y方向进行两次一维AS-FT实现；三维傅里叶变换则通过对x、y、z方向依次进行三次一维AS-FT实现。这利用了积分核函数在积分区间内的连续性。 4. 采样规则：AS-FT算法的优势在于灵活采样。采样规则的本质是对被积函数变化的拟合程度。 * 正变换采样：根据空间域函数的分布进行。函数变化剧烈处加密采样，平缓处稀疏采样。可以是均匀或非均匀间隔。 * 逆变换采样：根据波数域（频谱）的分布进行。由采样定理确定最大波数（截止频率）。频谱能量集中、变化平缓时，可减少采样点；变化剧烈时，需采样至截止频率。可采用均匀采样、分段均匀采样或对数间隔均匀采样等多种策略，以平衡精度与效率。 5. 算法验证：使用高斯函数（其傅里叶变换对具有解析解）对一维、二维、三维AS-FT算法进行验证。在给定的空间域和波数域范围内进行均匀采样，对比AS-FT计算结果与解析解。结果表明，AS-FT在所有维度上的正变换和逆变换均具有极高的精度（相对均方根误差在十万分之几量级）。效率测试显示，计算时间随采样点数线性增长，算法性能良好。

流程二：AS-FT算法在三维磁场正演建模中的应用与对比分析 1. 正演理论框架：本研究将AS-FT算法应用于空间-波数混合域的磁场正演建模中。该理论通过对磁位满足的三维偏微分方程在水平方向（x， y）进行二维傅里叶变换，将其简化为一系列关于深度方向（z）的一维常微分方程（每个方程对应一个水平波数对）。然后，在z方向使用一维有限元法求解这些方程，最终通过逆变换得到空间域的磁场解。这种方法结合了波数域法降维的优势和空间域法灵活处理垂向变化的优点。 2. 模型设计与实验：研究设计了多个理论模型来测试AS-FT算法的性能，并与主流的Standard-FFT和Gauss-FFT算法进行对比。 * 对比实验：设计一个立方体棱柱体模型（弱磁，磁化率为0.01 SI）。在相同垂向采样密度下，改变水平方向采样点数，系统比较三种算法（AS-FT均匀采样；Standard-FFT采用不同边界扩展系数Ke；Gauss-FFT采用不同高斯点数目）的计算效率和精度（以地面磁场分量的相对均方根误差衡量）。 * 适应性实验： a. 弱磁连续介质模型：磁化率随水平坐标呈高斯连续变化。分析模型不同深度处及特定深度平面的磁场频谱分布，据此指导AS-FT的波数选取（本例中选取了比理论截止频率更小的范围）。 b. 弱磁突变介质模型：设计一个球体模型（磁化率0.01 SI）。分析其频谱特性，发现相比连续模型，频谱振荡增强。分别采用均匀采样和对数域均匀采样进行波数选取，并对比精度。 c. 强磁突变介质模型：使用同一个球体模型，但将磁化率提高至1 SI。分析其频谱，发现能量大幅增强（两个数量级），振荡剧烈且衰减缓慢。为保障精度，需扩大波数选取范围。进一步测试了空间域非均匀采样（在球体附近加密网格）与波数域分段均匀采样/对数采样相结合的复杂采样策略。 3. 数据处理与分析流程：所有算法均使用Fortran 95编写。正演计算完成后，提取地面（z=0）观测平面的磁场三个分量（Bax， Bay， Baz）。以高精度Gauss-FFT（4点）结果或已知解析解（如球体模型）为参考，计算相对均方根误差作为精度评价指标。同时记录每种算法配置下的计算耗时，用于效率评估。

四、 主要研究结果

1. 算法效率与精度对比结果：在棱柱体模型对比实验中，AS-FT算法展现出显著优势。当AS-FT采用201×201个水平采样点时，仅需2.53秒即可达到Bax， Bay， Baz分量误差分别为0.02%， 0.02%， 0.11%的精度。而要达到相近的精度水平，Gauss-FFT（4点， 201×201采样）需要30.35秒，Standard-FFT（Ke=8， 901×901采样）需要39.51秒。这表明AS-FT能以更少的采样点、更短的时间，获得与甚至优于Gauss-FFT和Standard-FFT的精度。

2. 对不同介质的适应性结果：

   • 弱磁连续介质：AS-FT算法通过分析频谱，仅在主要能量集中区域（-1.55e-3 至 1.55e-3）进行均匀采样。使用101×101×101个采样点，其计算结果与高精度Gauss-FFT参考解的等值线高度吻合，各分量误差均低于0.1%，验证了其对连续介质的高适应性。
   • 弱磁突变介质（球体）：AS-FT在处理频谱振荡的突变模型时仍表现优异。采用对数域均匀采样（-0.1至0.1）后，地面磁场分量的计算误差降至约0.05%。与球体模型的解析解对比，等值线完全一致，证明了算法的高精度。
   • 强磁突变介质（球体）：这是最复杂的情况。实验发现，单纯在空间域和波数域均匀采样，误差较大（~1.8%）。当采用空间域水平非均匀采样（球体附近网格最小间距1m）结合波数域对数均匀采样或分段均匀采样（-0.25至0.25）后，经过6次迭代，AS-FT成功获得了高精度解，各分量误差降至0.2%左右。与解析解的对比图显示两者等值线高度一致。

3. 算法特性结果：

   • 无边缘效应：由于AS-FT将傅里叶变换视为积分问题，并通过单元积分半解析求解，本质上避免了传统离散傅里叶变换因周期假设而产生的边缘效应。文中所有实验均未进行边界扩展，直接证明了这一点。
   • 任意采样能力：研究成功实践了空间域的非均匀采样和波数域的多种灵活采样策略（均匀、分段均匀、对数均匀）。这允许用户根据被采样函数（模型物性分布、磁场频谱）的具体特征优化采样方案，在保证精度的前提下，最大限度地减少不必要的采样点，从而提升计算效率。
   • 计算系数预存：由于单元划分和波数确定后，傅里叶变换节点系数即可提前计算并存储，在正演迭代过程中无需重复计算，进一步提升了效率。

五、 研究结论与价值

本研究提出并验证了一种基于形函数插值的任意采样傅里叶变换（AS-FT）新算法，并成功将其应用于地球物理磁场正演建模中。

结论：AS-FT算法能够实现对空间域和波数域的灵活采样，通过获取积分区间内的半解析解，兼具高计算精度和高效率，且无边缘效应。在弱磁和强磁条件下，该算法均能通过优化采样策略，以少于传统Gauss-FFT和Standard-FFT的采样点获得同等甚至更高的正演模拟精度。

科学价值与应用价值： 1. 理论方法创新：AS-FT为傅里叶变换家族提供了一种全新的、功能强大的成员。它突破了传统FFT必须均匀采样的限制，并将高精度和高效率统一起来。 2. 解决地球物理计算难题：该算法为解决地球物理偏微分方程（如位场、电磁场、弹性波方程）的数值解提供了一个高效、高精度的新工具。其无边缘效应的特性成功解决了长期困扰位场正演模拟的边界问题。 3. 推动勘探技术进步：高效高精度的正演算法是反演成像的基础。AS-FT的应用有望提升重力、磁法、电磁、地震等地球物理勘探方法的数值模拟和反演解释的效率和分辨率，对深部矿产资源和能源勘查具有潜在的重要应用价值。

六、 研究亮点

1. 核心算法的原创性：首次提出基于形函数插值和单元积分半解析解的任意采样傅里叶变换框架，概念新颖，数学推导严谨。
2. 卓越的综合性能：在磁场正演这一典型应用场景中，同时证明了新算法在精度、效率和灵活性三个方面均优于现有主流算法（Standard-FFT和Gauss-FFT），这是一个显著的突破。
3. 强大的问题适应性：通过系统的模型实验，全面验证了AS-FT算法对从简单（连续介质）到复杂（强磁突变体）各类地球物理模型的良好适应性和鲁棒性。
4. 灵活的采样策略体系：不仅提出了算法，还系统地阐述了针对空间域和波数域不同函数特性的采样规则，为实际应用提供了重要指导。

七、 其他有价值内容

本文的附录提供了当波数不为零时，基于二次形函数插值的傅里叶变换节点系数详细推导公式，增强了研究的可复现性。此外，研究在讨论部分前瞻性地指出，AS-FT算法未来可进一步推广应用于重力、电磁、地震等更多地球物理领域的数值模拟，显示了该方法的普适潜力和广阔的研究前景。