本文介绍一篇发表于《IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques》2006年1月刊（第54卷第1期）的原创研究论文，题为”A 3-D Spectral-Element Method Using Mixed-Order Curl Conforming Vector Basis Functions for Electromagnetic Fields”，作者为Joon-Ho Lee、Tian Xiao（IEEE会员）和Qing H. Liu（IEEE会士），均来自美国杜克大学电气与计算机工程系。

学术背景
该研究聚焦于计算电磁学领域，旨在解决三维电磁场模拟中的关键挑战。传统有限元法（FEM, Finite-Element Method）虽广泛用于谐振器、波导等电磁器件的设计，但其高阶实现面临广义特征值问题，导致计算内存和CPU时间成本高昂。此外，三维问题中常出现的伪解（spurious solutions）现象需要通过特定基函数抑制。为此，作者提出基于高斯-洛巴托-勒让德（GLL, Gauss-Lobatto-Legendre）多项式的谱元法（SEM, Spectral-Element Method），结合混合阶旋度相容向量基函数（mixed-order curl conforming vector basis functions），以提升计算效率和精度。

研究流程
1. 方法构建
- 基函数设计：采用混合阶旋度相容向量基函数，在标准立方体参考单元（reference element）中定义，确保单元间切向电场连续性。基函数形式如式(4)-(6)所示，其中插值阶数（interpolation orders）沿不同参数坐标方向可独立设置。
- 域离散化：将物理域划分为六面体单元，通过雅可比矩阵映射至参考单元，利用拉格朗日-勒让德插值多项式表示电场（式(7)）。
- 伽辽金加权残差法：将矢量亥姆霍兹方程（式(1)）的残差（式(8)）最小化，导出离散系统方程（式(10)）。通过参考域中的协变分量计算（式(11)-(16)），最终形成矩阵方程（式(17)）。

1. 数值积分优化

   • 刚度矩阵计算：利用GLL积分精确计算刚度矩阵（式(18)），通过预生成查找表（式(21)）减少计算量。
     
   • 质量矩阵对角化：采用近似GLL积分（式(25)）使质量矩阵对角化，从而将广义特征值问题转化为常规特征值问题（式(27)-(28)），显著降低求解复杂度。
     

2. 数值验证

   • 本征值问题：测试三种模型，包括均匀矩形腔体（尺寸1 cm×0.5 cm×0.75 cm）、半填充介质腔体（介电常数ε_r=2）和半填充导电材料腔体（复介电常数，式(29)）。采用不同阶数基函数（最高12阶）对比SEM与FEM的精度和效率。
     
   • 波导问题：分析介电加载矩形波导（ε_r=6），计算反射/传输系数（式(38)-(39)），并与正交展开法结果对比验证。
     

主要结果
1. 精度与效率
- 均匀腔体模型中，12阶SEM的八最低波数平均相对误差呈指数下降（图2），而FEM在10阶后误差回升。SEM的CPU时间和内存需求仅为FEM的57%和50%（图3）。
- 半填充介质腔体（图4）中，6阶基函数（960未知数）下，SEM达到0.1%精度所需内存为3367 KB，CPU时间7.7秒（表III）。
- 导电腔体（图6）的基频计算（表IV）显示，SEM可有效处理复介电常数问题。

1. 波导模拟
   
   • 反射系数收敛性（图8）表明，SEM在6阶基函数（9136未知数）下与参考值吻合（图9）。电场分布图（图10-11）直观展示不同波数下的干涉与传输特性。
     

结论与价值
该SEM方法通过混合阶旋度相容基函数和GLL多项式，实现了高精度、低计算成本的电磁场模拟。其核心创新包括：
1. 方法学贡献：质量矩阵对角化避免了广义特征值求解，为时域仿真奠定基础。
2. 工程价值：为谐振器、波导等器件设计提供高效替代方案，尤其在需要高精度或复杂材料建模的场景中优势显著。

亮点
- 理论创新：首次将混合阶旋度相容基函数与SEM结合，兼顾切向连续性与计算效率。
- 技术优化：通过近似积分实现质量矩阵对角化，突破传统FEM的内存瓶颈。
- 跨领域潜力：方法可扩展至非正交单元（未来研究方向）及多尺度问题，具有广泛适用性。

其他价值
研究得到韩国研究基金会、美国国防高级研究计划局（DARPA）及国家科学基金会（NSF）资助，体现了其在军事与民用通信器件设计中的双重应用前景。