学术报告：《大地电磁三维矢量有限元正演》研究介绍

作者及发表信息
本文由中南大学地球科学与信息物理学院的严家斌教授与硕士研究生皇祥宇合作完成，发表于《吉林大学学报（地球科学版）》2016年第46卷第5期，标题为《大地电磁三维矢量有限元正演》（3D forward modeling of magnetotelluric field by vector finite element method）。

学术背景
大地电磁法（Magnetotelluric Method, MT）是一种基于天然电磁场探测地下电性结构的地球物理方法。三维正演模拟是理解复杂地质体电磁响应规律的关键工具，但其计算精度和效率受限于传统数值方法的局限性。已有研究中，积分方程法适用于简单模型但难以处理复杂地形；有限差分法网格要求严格；标量有限元法难以准确模拟电场法向分量的突变。本研究旨在通过矢量有限元法（Vector Finite Element Method, VFEM）结合改进的边界条件加载技术，提升三维大地电磁正演的精度与效率。

研究流程
1. 理论推导与离散化
- 基于广义变分原理（Generalized Variational Principle），推导了大地电磁场的双旋度方程（ ×  × e − iωμσe = 0），并将其转化为能量泛函形式。
- 采用六面体单元离散计算区域，棱边自由度选用Whtiney矢量基函数（Vector Basis Function）近似电场，确保法向分量的突变特性。

1. 边界条件改进

   • 提出直接法强加边界条件（Direct Imposition of Boundary Conditions），替代传统乘大数法（Penalty Method），避免矩阵条件数恶化。具体包括：
     
     • 顶面与侧面采用狄利克雷边界条件（Dirichlet Boundary Condition），垂直电场分量（ez）设为0。
       
     • 底面应用一阶吸收边界条件（First-Order Absorbing Boundary Condition），通过χ = −i√ωμσ关联电场与导数项。
       

2. 方程求解优化

   • 采用SSOR（Symmetric Successive Over Relaxation）预处理的双共轭稳定梯度法（BiCGSTAB）求解复对称稀疏线性方程组。
     
   • 以层状介质一维解作为迭代初始值，加速低频收敛（低感应数问题）。
     

3. 模型验证与对比

   • 国际标准模型COMMEMI 3D-1A：计算频率为0.1 Hz和10 Hz，对比文献结果，误差在允许范围内（图3）。
     
   • 与交错差分法（Staggered-Grid Finite Difference）结果一致（图5），验证算法可靠性。
     

4. 三维低阻体响应分析

   • 设计700 m×700 m×700 m低阻体（10 Ω·m）模型，埋深400 m，背景电阻率100 Ω·m。
     
   • 对比二维模式（TE/TM）与三维中心测线响应，发现：
     
     • xy模式（对应TM模式）视电阻率（ρxy）变化幅度大于yx模式（图8）。
       
     • 低频时yx模式受累积电荷影响显著，与二维TE模式差异较大。
       

主要结果
1. 算法性能
- 直接法边界条件使矩阵条件数降低，迭代求解效率提升（表1显示BiCGSTAB在高频下耗时最短）。
- 矢量有限元法在界面突变处（如z=250 m低阻体上界面）准确捕捉了ez分量不连续性，而标量有限元表现为平滑过渡（图4）。

1. 阻抗响应特征
   
   • 对称模型下，Re(Zxy)与Re(Zyx)呈对称分布，Re(Zxx)和Re(Zyy)四瓣形态反映异常体边界（图7）。
     
   • 中心测线三维响应与二维TM模式接近，但低频yx模式因电荷效应偏离TE模式（图8）。
     

结论与价值
1. 科学价值
- 提出的矢量有限元框架解决了传统方法在界面突变处的精度损失问题，为复杂地质体模拟提供可靠工具。
- 边界条件直接加载法和SSOR-BiCGSTAB求解策略为大型稀疏方程组提供了高效稳定的解决方案。

1. 应用价值
   
   • 可应用于起伏地形或复杂构造区的大地电磁数据解释，如矿产勘探或地热资源评估。
     
   • 阻抗张量分析（如Zxx/Zyy幅值）为反演中异常体形态初步判断提供依据。
     

研究亮点
1. 方法创新
- 首次将直接法边界条件与矢量有限元结合，兼顾精度与计算效率。
- 采用六面体单元与棱边自由度，天然满足电磁场物理特性。

1. 发现创新
   
   • 揭示了三维模型中累积电荷对低频响应的影响机制，修正了二维模式的适用性认知。
     

其他价值
- 开源潜力：算法实现细节（如矩阵组装与预处理）可为后续开发者提供参考。
- 扩展性：框架可适配其他频率域电磁法（如CSAMT）的三维正演。

（全文约2000字）