本研究的主要作者是Zhengze Liu， Yuchi Huo， Yifan Peng和Rui Wang。其中，Zhengze Liu、Yuchi Huo和Rui Wang均来自浙江大学计算机辅助设计与图形学国家重点实验室，Yifan Peng则来自香港大学。该研究以论文《A Fully-Statistical Wave Scattering Model for Heterogeneous Surfaces》的形式，发表于计算机图形学领域的顶级期刊《ACM Transactions on Graphics》（TOG），出版于2025年8月。该期刊以发表高质量、高影响力的计算机图形学研究而闻名，表明本研究工作具有相当的理论深度和前沿性。

本研究的学术背景属于计算机图形学中的真实感渲染领域，特别是与光散射模型和波动光学（Wave Optics）相关的子领域。现实世界中的许多表面，例如矿物、复合材料、腐蚀或抛光过的金属，其微观几何结构和材料成分在空间上呈现出非均匀的随机变化，我们将此类表面称为异质表面（Heterogeneous Surfaces）。这些表面的微观细节尺度可能与光的波长（例如数百纳米）相当，因此当相干光照射时，会出现传统几何光学（Geometric Optics）模型无法描述的波动光学效应，如虹彩（iridescence）和散斑（speckle）。现有的计算机图形学方法在处理此类异质表面时，大多采用显式结构建模（如多层涂层、微划痕）或是在介观尺度（mesoscopic level，从几十微米到几毫米）上进行统计描述。然而，对于微观尺度上、随机的几何与材料异质性，现有模型存在空白。这种异质性广泛存在于自然和人造表面中，但其主要的建模挑战在于需要量化光与随机异质性（而非显式结构）的相互作用，并且在相干光照下（由于变化尺度小）进行量化。先前关于随机表面的模型，无论基于几何光学还是波动光学，主要关注随机变化的平均外观，而无法渲染出由精细异质性带来的丰富细节，例如由彩色反射图案形成的散斑。因此，该研究旨在通过提出一种完全基于统计的波动散射模型，来准确再现具有微观异质特征的表面外观，填补该领域的空白。

本研究的工作流程可以概括为以下几个核心环节： 首先，建立异质表面的完全统计模型。研究者将具有微观异质性的表面视为一个或多个随机向量过程的混合。表面在任意一点的性质，包括高度场（Heightfield）、斜率（Slopes，即高度场的偏导数）和材料折射率（Refractive Index），被建模为一个统一的四维向量随机过程。对于由不同材料或处理方式复合而成的表面，则引入混合过程（Mixed Process）模型：假设存在多个独立的向量过程，每个过程代表一种材料或结构成分。在表面的每一点，随机地“选择”其中一个过程来描述该点的属性，这种选择由一个多变量控制过程来统计性地描述。这种模型能够描述比现有微颗粒模型（micrograin）更精细的异质性，因为其关注的混合尺度更小，空间相关性得以保留。 其次，将广义哈维-沙克理论（Generalized Harvey-Shack Theory）这一成熟的物理散射理论，适配到上述统计模型中，以描述相干光照射下表面的散射行为。该理论将散射远场表述为一个关于表面散射系数和高度扰动的积分方程。研究者需要推导出散射场的平均强度（即双向反射分布函数 BRDF）和二阶统计量（即协方差）的解析表达式。这是研究的核心数学环节。 在推导平均强度（第三部分）时，研究者面临着如何计算包含随机散射系数和随机高度场的复杂期望积分。他们采用了泰勒级数展开的方法，将依赖于随机斜率（u, v）和随机折射率（r）的散射系数在均值点附近展开，通常一阶或二阶展开已足够精确。通过这种展开，可以将原本复杂的期望分解为一系列与表面统计参数（如高度方差、折射率方差、相关系数等）相关的项。对于其中的关键项（涉及高度差相关性的指数函数），针对“粗糙表面”和“光滑表面”两种情况，分别推导了高效且准确的解析近似公式（对于粗糙表面，采用了更高阶的近似以提升精度；对于光滑表面，则采用泰勒级数展开）。最终，整个表面平均散射强度的计算被转化为一个算法流程（Algorithm 1），该算法按混合概率对单个过程贡献项和交叉过程贡献项进行加权求和，每一项都可通过上述解析公式高效计算。 在推导用于渲染散斑的散射场协方差统计（第四部分）时，研究者面临一个更大的挑战：为了在蒙特卡洛渲染中实时采样具有正确空间相关性的散斑场，需要一种能够对散射场协方差矩阵进行有效分解的方法。他们采用了秩-1分解（Rank-1 Decomposition）策略。首先将总的协方差近似为“相干强度”和“协变强度”两个因子的乘积。然后，利用蒙托卡洛采样对相干强度进行分解；对于协变强度，则采用了一种近似分解方法，再次针对粗糙和光滑两种情况给出了不同的分解向量表达式。整个分解过程使得在给定观察方向时，能够通过少量标准高斯随机变量的线性组合来采样散射场，同时保证不同方向采样出的散斑场之间具有正确的协方差结构（即保持“记忆效应”）。最终的散斑采样算法（Algorithm 2）整合了这些分解，并以这些随机变量为基础，为每个过程及其交叉项贡献进行加权计算，最后加上平均场，从而高效地生成了符合物理统计规律的散斑图案。 为了验证模型和推导的正确性，研究进行了全面的数值模拟。验证方法是：首先从给定的表面统计参数中生成大量的显式表面样本（即具体的高度场和折射率分布图）。然后，对这些显式表面样本通过数值积分直接计算其散射场和BRDF，再进行统计平均，将得到的结果作为“地面真值”。最后，将地面真值与研究者推导的解析公式（或基于解析公式的算法）计算结果进行比较。所有实验均证实，该研究提出的模型和解析方法能够高精度地预测异质表面的平均散射特性和散斑统计特性。研究还在开源渲染器Mitsuba 3中实现了该模型作为BSDF插件，并展示了在各种光照和场景下的渲染效果。

研究的主要结果体现在多个方面： 在平均强度（BRDF）方面，研究结果表明，所提出的二阶展开近似在多种表面配置下（不同粗糙度、不同入射角、考虑折射率波动）都给出了最准确的平均BRDF预测，显著优于零阶展开（即假设散射系数为常数）和经典的半矢量近似（half vector approximation）。更重要的是，对于混合表面，研究表明其平均散射强度不能简单地通过各组成成分的强度线性混合来近似，尤其是在混合特征尺度与光的相干宽度相当时。该研究提出的非线性混合模型（考虑了空间相关性）能够准确预测混合表面的散射行为，而线性混合模型则会产生偏差（图3，图7）。 在散斑统计与渲染方面，研究验证了所采用的零阶协方差近似足以主导散斑的统计特性（图9a）。同时，所提出的协方差分解方法在不同表面配置下（不同粗糙度、不同相关长度）都能以可接受的误差重建散射场的协方差结构（图9b-e）。在具体渲染中，算法能够高效生成丰富、物理正确的散斑图案（图10）。研究还展示了，随着观察距离的增加，高分辨率的散斑图案会逐渐平滑，最终收敛于平均强度渲染结果，这与物理现象一致（图11）。 研究通过一系列渲染案例，展示了该异质表面模型广泛的应用潜力。例如，它可以模拟腐蚀（表面不同区域材料属性变化）、颗粒沉积（不同材料随机混合）、以及高度相关的材料混合（例如，银或铝仅出现在峰顶）等效果（图1，图8，图12）。这些渲染结果展示了模型在再现复杂、逼真的表面外观方面的能力，这些外观包括了由波动光学效应带来的虹彩和散斑等细节。

该研究的结论是，成功提出并验证了一种“完全统计”的波动散射模型，用于描述和渲染具有微观几何与材料异质性的表面。该模型的核心价值在于，它无需定义表面的显式微观结构，仅通过一组统计参数（如高度和折射率的均值、方差、相关长度、混合概率等）就能描述表面的异质性，并能够准确、高效地计算出其相干光散射行为，包括平均反射率（BRDF）和散斑波动。这为计算机图形学中真实感渲染开辟了一条新的途径，使得渲染极其复杂且随机的微观表面成为可能，而这些表面用传统的显式建模方法将面临数据量巨大和计算不可行的困难。 本研究的科学价值在于，它将随机过程理论和波动光学散射理论进行了深度融合，扩展了广义哈维-沙克理论的应用范围，使其能够处理材料属性也随机变化的异质表面，并推导出了一套相对完整的解析或准解析解决方案。在应用价值上，该模型可以用于电影、游戏、虚拟现实等领域的超写实渲染，模拟各种自然和人造材料（如岩石、金属涂层、复合材料）在精细尺度下的独特光学外观。同时，相关代码已开源，便于学术界和工业界使用与进一步研究。 本研究的亮点在于：第一，提出了“完全统计”的建模思想，用随机向量过程和混合过程来描述微观异质性，这是一个概念上的创新。第二，在方法学上，通过泰勒展开和巧妙的数学近似，将复杂的物理期望积分转化为可计算的解析形式，并针对粗糙与光滑表面分别优化，保证了算法的精度和效率。第三，开发了基于协方差秩-1分解的散斑采样算法，使得无需存储和计算庞大的协方差矩阵就能实时生成具有正确空间-角度相关性的散斑，这是一个非常实用的算法创新。第四，研究不仅提供了理论推导，还通过全面的数值模拟验证了所有关键量，并与现有模型进行了对比，体现了工作的严谨性。最后，研究展示了该模型在多种应用场景下的潜力，证明了其广泛的适用性和实用性。这项工作在微观异质表面渲染这一挑战性问题上取得了重要进展，为计算机图形学中的材料建模和光传输模拟提供了新的强大工具。