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本研究由Sean Berti、Mattia Aleardi和Eusebio Stucchi共同完成，分别来自意大利比萨大学和佛罗伦萨大学的地球科学系。研究论文《A computationally efficient Bayesian approach to full-waveform inversion》于2023年10月8日发表在《Geophysical Prospecting》期刊上，DOI为10.¹¹¹¹⁄₁₃₆₅-2478.13437。

学术背景

全波形反演（Full-Waveform Inversion, FWI）是地球物理学中用于构建地下物理模型的高分辨率技术。传统的FWI方法依赖于基于梯度的算法来最小化误差函数，通常通过欧几里得距离来度量观测波形与预测波形之间的差异。然而，这种确定性方法仅提供一个“最佳拟合”模型，无法考虑影响预测解的不确定性。此外，局部方法通常容易陷入误差函数的局部最小值。相比之下，将FWI问题转化为概率框架可以系统地探索模型空间，并准确估计模型的不确定性。然而，贝叶斯方法在应用于非线性问题时，计算量巨大，尤其是在前向评估昂贵且模型空间庞大的情况下。

本研究提出了一种基于梯度的马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）全波形反演方法，通过离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）压缩数据和模型空间，加速后验采样。该方法利用局部Hessian和梯度信息构建目标后验概率密度的局部高斯近似，从而显著提高了采样效率。

研究流程

本研究的主要流程包括以下几个步骤：

1. 问题建模与数据准备
   研究首先对FWI问题进行建模，使用Marmousi和BP声学模型的部分数据进行合成反演测试。数据生成使用Devito软件包，该软件包是一个用于求解笛卡尔网格上离散波动方程的高性能有限差分领域特定语言。

2. 数据与模型空间压缩
   为了降低计算复杂度，研究采用DCT对数据和模型空间进行压缩。DCT将信号的能量分布表示为频域谱，通过保留低阶DCT系数来压缩模型和数据。研究表明，仅需保留少量DCT系数即可解释原始模型和数据的90%以上的变异性。

3. 梯度基MCMC采样
   研究提出了一种基于梯度的MCMC采样算法，该算法利用负对数后验的局部Hessian和梯度信息构建提案分布。提案分布是目标后验概率密度的局部高斯近似，显著加快了采样收敛速度。Hessian和梯度信息的计算依赖于数据和模型空间的压缩，从而降低了计算复杂度。

4. 反演测试与结果验证
   研究在两个合成模型（Marmousi和BP声学模型）上进行了反演测试，并验证了所提出方法的有效性。结果表明，该概率方法在计算成本上与局部反演相当，且对周期跳跃问题具有鲁棒性。反演结果还可作为后续局部反演的初始模型，以提高概率结果的空间分辨率。

5. 结果分析与不确定性评估
   研究通过计算后验均值模型和标准差图，评估了反演结果的不确定性。结果表明，浅层部分的预测速度值具有较高的精度，而深层部分和模型边缘的不确定性较大，这与数据的覆盖范围和参数照明程度一致。

主要结果

1. 模型压缩效果
   研究表明，仅需保留少量DCT系数即可解释原始模型和数据的90%以上的变异性。例如，在Marmousi模型中，仅需162个DCT系数即可压缩25,351维的模型空间。

2. 反演结果精度
   反演测试表明，所提出的概率方法能够准确恢复地下速度模型的主要特征。后验均值模型与真实模型在压缩后几乎完全重叠，表明该方法能够提供接近最优解的预测结果。

3. 不确定性评估
   通过计算后验标准差图，研究发现浅层部分的预测速度值具有较高的精度，而深层部分和模型边缘的不确定性较大。这与数据的覆盖范围和参数照明程度一致。

4. 计算效率
   研究表明，所提出的基于梯度的MCMC方法在计算成本上与局部反演相当。例如，在Marmousi模型中，每次迭代的耗时约为60秒，而BP模型中的每次迭代耗时约为160秒。

结论

本研究提出了一种计算高效的贝叶斯全波形反演方法，结合了基于梯度的MCMC采样和DCT压缩技术。该方法不仅能够系统地探索模型空间，还能准确估计模型的不确定性，显著提高了FWI的鲁棒性和计算效率。研究结果表明，该方法在合成模型上具有较高的精度和计算效率，能够有效避免周期跳跃问题，并为后续局部反演提供了高质量的初始模型。

研究亮点

1. 新颖的采样算法
   研究提出了一种基于梯度的MCMC采样算法，利用局部Hessian和梯度信息构建提案分布，显著加快了采样收敛速度。

2. 数据与模型空间压缩
   研究采用DCT对数据和模型空间进行压缩，显著降低了计算复杂度，使贝叶斯反演在计算上变得可行。

3. 高效的不确定性评估
   研究通过计算后验均值模型和标准差图，提供了全面的不确定性评估，为地下模型的解释提供了重要依据。

4. 广泛的适用性
   该方法不仅适用于2D模型，还可扩展到3D模型或多参数FWI（如弹性FWI），具有广泛的应用前景。

其他有价值的内容

研究还探讨了如何通过增加DCT系数数量来提高反演结果的空间分辨率，并建议将MCMC反演结果作为后续局部反演的初始模型，以进一步提高分辨率。此外，研究还比较了所提出方法与传统局部反演方法的计算成本，表明所提出方法在计算效率上具有显著优势。

本研究为全波形反演提供了一种高效且鲁棒的概率方法，不仅提高了反演结果的精度，还为地下模型的解释和不确定性评估提供了重要工具。