基于EB（电场E和磁通密度B）方案的新型三维无伪解不连续伽辽金谱元时域方法（DG-SETD）研究进展报告

该研究由美国杜克大学电气与计算机工程系的Qiang Ren、Qingtao Sun、Qing Huo Liu以及哥伦比亚Javeriana-Cali大学电子与计算机科学系的Luis E. Tobón共同完成，发表于2015年6月的《IEEE Transactions on Antennas and Propagation》第63卷第6期。

一、学术背景与研究目标
计算电磁学领域中，时域有限元方法（FETD）因其处理复杂结构瞬态和非线性问题的能力备受关注。传统基于电场E和磁场H（EH方案）的谱元时域方法（SETD）需对电场和磁场采用不同阶数的插值多项式以避免伪解（spurious modes），导致计算量显著增加。本研究提出了一种基于电场E和磁通密度B（EB方案）的新型不连续伽辽金谱元时域方法（DG-SETD），通过采用相同阶数的基函数对E和B进行离散，既消除了伪解，又降低了未知量数量和计算负担。此外，该方法将EB方案与完美匹配层（PML）结合，以解决开放区域问题的截断需求。

二、研究流程与方法
1. 理论建模与方程离散化
- 基于Maxwell旋度方程（式1-2），采用EB变量构建控制方程。
- 基函数设计：
- 电场E使用旋度相容（curl-conforming）的Nédélec边元（edge elements），磁通密度B使用散度相容（divergence-conforming）的面元（face elements）。
- 三阶参考立方体单元中，旋度相容基函数数量为3×m×(m+1)²，散度相容基函数为3×m²×(m+1)（m为多项式阶数）。
- 坐标变换：通过雅可比矩阵（Jacobian matrix）将参考单元基函数映射至物理域（式6-9）。

1. DG方法实现域分解

   • 将计算区域分解为N个子域，相邻子域通过Riemann求解器（迎风通量）交换能量（式14-15）。
     
   • 离散化线性系统（式16-17）中，质量矩阵（M_ee、M_bb）、刚度矩阵（K_eb、K_be）及耦合矩阵（L_ij）通过体积分和面积分构建（式18-30）。

2. PML扩展与时间积分

   • 将EB方案与Fan和Liu提出的强适定性PML结合（式31-39），用于开放区域模拟。
     
   • 采用四阶显式Runge-Kutta方法进行时间积分（式55-58），时间步长由Butcher表系数控制。

三、数值验证与结果
1. 本征值分析
- PEC腔体：对比EH方案（需e2h3或e3h4混合阶基函数）与EB方案（e2b2同阶基函数），后者在相同自由度（DoFs）下误差更小（图5），且频谱精度呈指数收敛。
- 同轴腔体：非结构化六面体网格中，EB方案的e2b2在h细化（网格加密）下仍优于EH方案（图7-8），验证其对复杂几何的适应性。

1. 时域案例验证
   
   • 微带线模型：四子域分解下，EB方案（e2b2/e3b3）的端口电压与S参数结果比EH方案更接近FDTD参考值（图12），且未知量减少50%、计算时间降低至1/7（表II）。
     
   • 室内无线通信场景：包含PML的14子域模拟中，EB方案（e4b4 PML区域）与FDTD结果高度一致（图15），且内存消耗相近，但时间步长（62.5 ps vs. 5 ps）显著提升效率（表III）。

四、结论与价值
1. 科学价值：
- 首次将DG方法应用于EB方案SETD，解决了EH方案因混合阶基函数导致的伪解和计算效率问题。
- 通过同阶基函数实现无伪解模拟，降低了三维问题中未知量规模，为大规模电磁仿真提供高效工具。

1. 应用价值：
   
   • 适用于集成电路封装、智能天线、生物电磁学等多尺度问题，尤其在需要高精度粗网格（如4点/波长）的场景中优势显著。
     
   • 结合PML的扩展能力，为开放区域问题（如无线传播模拟）提供了可靠解决方案。

五、研究亮点
- 方法创新：首次提出EB方案的DG-SETD方法，通过旋度/散度相容基函数的协同设计，实现同阶插值下的无伪解模拟。
- 性能优势：相比EH方案，EB方案在微带线案例中减少50%未知量，计算速度提升7倍，且精度更高。
- 扩展性：支持结构化/非结构化六面体网格混合使用，并兼容强适定性PML，适用于复杂几何与开放边界问题。

六、其他贡献
- 推导了EB方案与PML结合的离散化系统（式40-43），为时域电磁计算中的吸收边界条件提供了新思路。
- 开源实现潜力：文中所述基函数生成算法（式3-5）及Riemann通量公式（式23-30）可直接用于开发高效计算代码。