这篇文章题为《Rational Approximation of Frequency Domain Responses by Vector Fitting》，由 B. Gustavsen 和 A. Semlyen 合作完成，分别来自挪威 EFI 研究中心和加拿大多伦多大学。这篇文章发表于1999年7月的《IEEE Transactions on Power Delivery》（Vol. 14, No. 3）。以下将从学术背景、研究方法、主要结果与意义、研究亮点和实际应用等方面对此研究进行详细介绍。
本文隶属于电力系统建模领域，研究的主题为频域响应的有理逼近及其在电力系统中的应用。在电力系统瞬态建模中，频率依赖效应的准确纳入对于时域仿真非常关键。频率依赖性效应通常由导体中的涡流以及电介质中的弛豫现象引起。这些效应通过电阻、电感、电容矩阵的频域响应体现，并进而影响模型的动态行为。
传统方法对频率依赖响应的处理效率较低，特别是在计算时间长、处理步数多的情况下。因此，为了提高建模效率，通常通过低阶有理函数逼近代替频域响应。本文提出了一种通用方法，旨在解决现有方法中拟合振荡响应时的局限性，例如在变压器和网络等复杂系统中表示共振峰的不足。
研究的主要目标是扩展向量拟合（Vector Fitting，VF）方法，使之能够处理含有高振荡特性和频率共振峰的频域响应，同时提供一种高效且稳健的实施框架。
为了实现对于复杂频域响应的逼近，研究提出了利用复杂起始极点的向量拟合方法，并进行了以下几个系统性阶段及程序开发。
本文详细介绍了一种基于极点重新定位的向量拟合法。其核心思想是通过两阶段递归逼近来处理非线性问题： 1. 第一阶段利用已知极点计算新的极点。 2. 第二阶段利用这些新极点对原函数进行拟合，得到改进的结果。
在具体实现中，论文引入了复杂起始极点以克服拟合多共振峰时的精度问题，并提出了与之相关的算法、迭代流程及分析框架。
研究强调了合理选择起始极点对于拟合精度的决定性作用： - 平滑函数：建议均匀分布的实极点。 - 具有共振峰的函数：建议均匀分布的复杂共轭极点，其虚部线性分布于目标频率范围，实部设置为微小负值以防止病态问题。
推荐公式为： [ a = -\alpha + j\beta ] 其中，(\beta) 为线性分布的虚部。
各阶段具体步骤如下： 1. 极点识别（Pole Identification）：将目标函数乘以未知的比例函数，从而将非线性问题转化为超定线性问题，以最小二乘法确定新的极点。 2. 残差估计（Residue Identification）：使用第一阶段的极点避免直接计算残差时产生的非对称性，通过优化线性问题进一步提高拟合精度。
此方法具有很高的迭代收敛性，尤其是在起始极点经过合理分布的情况下，仅需少量迭代即可达到高精度。
研究详述了几种特殊场景下的拟合过程，包括： - 带噪声的响应数据：探讨了噪声对极点迁移能力的影响。 - 缩短频率范围的响应：验证了当部分极点超出目标频率范围时，对最终逼近精度的影响。 - 降阶拟合：研究了如何使用较少极点对高阶函数进行低阶逼近。
研究通过几种数值例子展示该方法在复杂频域函数拟合中的卓越能力： 1. 人工创建频率响应的性能测试： - 模拟了一个18阶函数，其包含两个实极点和16个复杂极点。采用10对均匀分布的复杂起始极点进行拟合，最终残差的均方根误差（RMS Error）低至 (3.8 \times 10^{-12})。 - 即使初始选取较高数量极点（如20或40对起始极点），拟合的稳定性和精度并未降低，显示了该方法的抗高阶能力。
降阶和部分频率范围拟合：
带噪声的响应拟合：
本研究扩展了向量拟合算法的应用范围，使其不仅适用于平滑函数，还能高效拟合具有多个共振峰的复杂频率响应。以下为该研究对学术界及工业界的重要贡献： 1. 科学价值： - 提供了一种统一的高精度拟合工具，不再受限于传统方法对振荡特性描述的局限。 - 推动了电力系统建模中对复杂组件如变压器和网络等更精确的瞬态表征。
本文提出的向量拟合法通过引入复杂起始极点克服了传统拟合模型的诸多限制，为电力系统频域响应拟合及瞬态建模提供了一种高效而精准的解决方案。通过实际实验验证，该方法对振荡响应的拟合性能显著优于现有技术，特别是在高阶响应以及带噪声场景中表现尤为突出。这一方法在理论和实际应用中均具有重要意义，为未来复杂系统建模及频率响应分析提供了宝贵工具。