本研究的主要作者为Chiu-Chih Chou（周久智，IEEE会员）和Tzu-Yuan Fang（方子元），均来自台湾中央大学电机工程学系。该论文发表于IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility期刊第68卷第4期，2026年8月出版，论文编号为1012–1024。

本研究的学术背景属于信号完整性（Signal Integrity, SI）与电源完整性（Power Integrity, PI）领域中的宏模型建立（macromodeling）技术。在高速电子系统设计中，将表格化的散射参数（S参数）转换为有理函数宏模型是常见做法，其优势在于能够利用递归卷积实现高效的瞬态仿真。然而，对于电源分配网络（Power Distribution Network, PDN）而言，芯片端看到的阻抗在低频（kHz级）时约为毫欧量级，而在高频（GHz级）时因寄生电感可升至数十欧姆，跨越数个数量级，这给精确拟合带来了极大挑战。工业界广泛采用的方法是将PI端口的参考阻抗（reference impedance, Zref）设为0.1Ω或1Ω，但这会牺牲高频段的精度；文献中的其他方法也存在侵入性强、假设条件苛刻或难以综合等效电路等局限。本研究旨在提出一种同时提升低频和高频拟合精度的方法，且该方法应具备非侵入性、与现有宏建模算法兼容、并能直接用于电路仿真器。作者提出的核心思路是使用一个随频率变化的复数值Zref，使其在kHz频段量级为0.1Ω，而在GHz频段量级为10Ω，从而改善频谱两端的拟合精度。

研究的具体流程可分为三个主要阶段。第一阶段为误差分析与理论推导。作者首先对S参数到Z参数和Y参数变换过程中的误差放大效应进行了严格的数学推导。在S参数存在微小扰动矩阵e时，变换后的Z参数绝对误差近似为(I−S)⁻¹e(ZrefI+Z)，而逐元素相对误差进一步除以|Z|。分析表明，对于高阻抗电路，(I−S)⁻¹项和(ZrefI+Z)项均会放大误差；对于低阻抗电路，1/|Z|项会放大相对误差，但选择较小的Zref可以减小该放大效应。对Y参数的误差分析呈现对称的结论。作者通过图1所示的高阻抗电路和低阻抗电路实例，分别在Zref=50Ω和0.1Ω条件下进行数值验证，结果如图2和图3所示，证实了对高阻抗电路使用50Ω参考阻抗可获得更好的Y和Z参数精度，而对低阻抗电路使用0.1Ω参考阻抗始终更优。这一分析为后续方法设计提供了理论基础。

第二阶段为提出复数值频率相关参考阻抗方法。作者提出了一种有理函数形式的Zref表达式：Zref=d+sr₁/(s−p₁)+sr₂/(s−p₂)。其中d项决定直流值，宜选约0.1Ω；r₁+r₂决定高频渐近值，宜为10Ω量级；p₁和p₂为高通函数的极点，对应Zref开始上升的3dB拐点频率。该阻抗可用图5所示的仅含正电阻和正电感的等效电路实现，因此保证无源性和因果性。作者随后讨论了在复数Zref下的波定义选择问题。在电压波、电流波、Kurokawa功率波、Youla复数波和Marks功率波五种定义中，Kurokawa功率波因在反射波中取Zref的复共轭而破坏了因果性；Marks功率波因含|Zref|绝对值运算导致等效电路综合困难；Youla复数波虽然具有优良的无源性表征性质，但在实际电路仿真中存在数值不稳定性。作者最终选择了电流波定义，其公式为aᵢ=(vᵢ+zᵢiᵢ)/(2zᵢ)，bᵢ=(vᵢ−zᵢiᵢ)/(2zᵢ)，理由是该定义能维持重归一化后S参数的因果性，并便于等效电路的稳定综合。作者通过一个50Ω理想传输线算例验证了因果性，图6显示采用Kurokawa功率波定义时在4GHz以下出现了明显的因果性违反，而采用电流波定义则无此问题。

第三阶段为等效电路综合与实验验证。作者详细说明了如何将复数Zref下的电流波S参数转换为可直接仿真器运行的等效电路。由于Touchstone 2.0格式不支持复数或频率相关参考阻抗，作者提出在向宏建模工具传递数据时绕过该限制的策略：在选项行中声明参考阻抗为50Ω，使工具将这些复数归一化的S参数当作50Ω基的S参数进行有理拟合。然后对工具输出的子电路进行网表解析，提取每个散射参数的真实极点与留数值，再按图8所示的拓扑结构重新构建电路；其中每个xi子电路实现图5所示的复数参考阻抗，输入级通过电流控制电流源和电压控制电压源计算入射波，输出级通过Foster G元件实现留数耦合。

验证部分使用了一个实际的70端口DDR控制器封装PDN（由Novatek提供），其中15个端口为BGA侧VDD/VDDQ引脚，39个为芯片侧引脚，16个为电容端口。初始S参数由三维电磁求解器仿真得到，参考阻抗为50Ω。作者生成了三种宏模型：基于Zref=50Ω的模型、基于Zref=0.1Ω的模型以及基于复数Zref的模型（即所提方法）。表1列出了三种模型的均方根拟合误差，结果显示50Ω归一化下50Ω模型最精确，0.1Ω归一化下0.1Ω模型（未强制无源）误差最小，而复数归一化模型的误差居中。在图10所示的端口连接方式下（所有BGA端口短接到地，电容端口接100nF电容，从芯片端口看入阻抗），图11和图12显示：50Ω模型在100MHz以下相对误差最大，0.1Ω模型在2.5GHz以上误差最大，而复数Zref模型在两端均表现良好。瞬态仿真进一步验证了上述结论。在幅度2A、上升/下降时间2ns的脉冲电流激励下（图14），50Ω模型产生明显失真的响应，最大偏差超过0.2V；在6.6GHz正弦电流激励下（图15），0.1Ω模型成为最不准确的模型，而50Ω模型因无源性违反导致瞬态响应发散，只有强制无源后的结果可用。当考虑片上电容（on-die capacitor, ODC）时，如图16所示，0.1Ω模型在高频段的Zin误差在加入充足ODC后有所降低，但复数归一化模型在整个频谱上仍保持良好拟合。对于耦合项测试（图17至图19），50Ω模型在低频段拟合精度差，0.1Ω模型在高频段拟合精度差，而复数Zref模型在两端均表现良好。

本研究的结论是：使用复数值且频率相关的参考阻抗进行宏建模，对于PDN这类阻抗跨越多数量级的结构，能够同时实现低频和高频的优良拟合。采用有理形式Zref能够用集总RLC元件精确实现且保证无源性，从而确保重归一化S参数的因果性。在复数Zref下，电流波定义被证明是一种兼具因果性和等效电路综合便利性的选择。70端口封装PDN实例验证了该方法在Zin和耦合项的频域精度以及瞬态响应精度方面均优于使用单一常数Zref的传统方法。该研究的科学意义在于严格推导了Zref对S-to-Y/Z变换误差放大的影响，并提出了系统的复数Zref方法框架；工程应用价值在于该方法为非侵入性方法，可直接与商业宏建模工具（如Ansys）配合使用，且输出电路可直接用于SPICE瞬态仿真，具有工业推广的可行性。未来工作需要开发针对复数Zref的有效无源性评估与强制方法，以及自动选择Zref参数（d, p₁, r₁, p₂, r₂）的方法。

本研究的亮点包括：提出了第一个在SI/PI领域严格推导Zref对S-to-Y/Z变换误差影响的定量表达式；创新性地使用复杂频率依赖参考阻抗来兼顾频谱两端的拟合精度；采用电流波定义解决了复数Zref下的因果性与电路综合矛盾；提出修改标准电路拓扑的新方法，使复数Zref模型可直接被电路求解器仿真；使用实际70端口封装PDN进行了从频域到瞬态的完整验证，证明方法在不同负载条件下均具有鲁棒性。此外，附录中还初步探讨了电流波S参数的无源性表征问题，提出了定理3、定理4和假设5，为未来无源性评估方法的研究提供了理论基础。