报告内容

本研究由Wei Xiao（Boston University）与Calin Belta（Boston University）合作完成，发表于 IEEE Transactions on Automatic Control，卷号为67，期号为7，出版日期为2022年7月。

学术背景与研究目标

该研究聚焦于自动控制领域，具体而言，旨在解决一类关于动态系统的优化控制问题，同时需满足安全约束与控制限制。近年来，如何在动态系统上实现期望的稳定性和安全性，一直是研究的热门方向，特别是在非线性系统和高维复杂系统中的应用。关键问题在于如何在稳定控制（convergence）和安全保障（safety）的平衡中设计有效的控制策略，研究人员提出了使用控制屏障函数（control barrier functions, CBFs）和控制李雅普诺夫函数（control Lyapunov functions, CLFs）的方法。然而，以往的研究存在两大主要局限性：1）它们多假定约束的相对阶数为1；2）在面对多重安全约束或严格的控制限制时，所衍生的问题极易失去可行性（例如二次规划问题可能无解）。为了解决上述问题，作者在本研究中提出了一种新型的高阶控制屏障函数（high-order control barrier functions, HOCBFs）的概念，并以复杂动态系统中的安全导航及自适应巡航控制问题为实例，验证了此方法的应用效果。

研究方法与流程

本研究的方法包含多个步骤，详细概述如下：

1. 提出高阶控制屏障函数（HOCBF）的定义与理论基础

• 屏障函数与控制屏障函数基础知识：作者首先总结了屏障函数（Barrier Functions, BFs）和控制屏障函数（Control Barrier Functions, CBFs）的传统定义，强调其通过Lyapunov-like技术方法进行安全性的数学描述。基于先前研究的延续，作者定义了一个m阶微分函数的递归公式，通过引入Class K函数来关联不同的约束阶层。这种递归设计使得屏障函数可以扩展至更高阶数。

• 高阶控制屏障函数的新定义：作者结合CBF的理念，提出了HOCBF用于描述相对阶数不为1的系统，并以多类数学推导及引理为基础，证明其方法理论上的前向不变性。

2. 构建基于HOCBF的优化控制问题

• 目标与数学形式化：将HOCBF结合控制Lyapunov函数（CLF）引入原优化控制问题（Optimal Control Problem, OCP）中。结合Quadratic Programming（QP），重新将时间离散化后，设计了序列化的QP求解。

• 可行性问题的解决：为了克服HOCBF可能导致问题无解的情况，作者创新性地提出了两种解决方法：惩罚法（Penalty Method）与参数化方法（Parameterization Method）。具体而言，惩罚法通过在递归设计中引入权值以调节问题的可解性；参数化方法则通过调整Class K函数参数使得约束边界最优化。

3. 典型案例与仿真方法

以两组复杂动态系统问题为例，验证提出方法的实际效果和适用性： - 自适应巡航控制（Adaptive Cruise Control, ACC）：研究通过HOCBF方法确保车辆间的安全距离，同时最小化能源消耗。 - 机器人导航：研究通过HOCBF确保机器人在未知环境中避开障碍物并安全到达多目标点，同时在时间最优和能耗最优的要求下完成任务。

主要结果详析

1. 高阶控制屏障函数的有效性

两种案例研究（ACC和机器人控制）均成功验证了HOCBF的理论有效性。对于ACC问题，论文表明，HOCBF可以处理二阶约束问题，并显著提升问题的可行性。在机器人避障问题中，HOCBF方法能灵活适应动态变化的复杂环境，并保证安全需求。

2. 仿真与数据分析

在ACC问题的实验中，仿真以具体速度、车辆间距等主要参数为输入，逐步验证了HOCBF方法的控制稳定性与安全性能。在机器人导航场景中，其涉及数值优化的实验结果表明： - 安全约束（例如碰撞规避）严格被满足。 - 能量消耗与路径规划显著优化。

此外，仿真还验证了不同方法（惩罚法与参数化法）的比较。结果表明，参数化方法虽然计算成本更高，但在寻找特定最优权值与参数时，具备更好的适应性和鲁棒性。

3. 与现有方法的对比结果

• 与传统输入-输出线性化方法相比，本文方法形式更一般，能适用相对阶较高的复杂系统。
• 和模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）相比，本方法显著降低了计算复杂度，同时能够实现类似的安全优化效果。

结论与意义

本研究的主要贡献体现在以下几个方面： - 构造了能够处理任意相对阶数约束的高阶控制屏障函数（HOCBF）。 - 提供了一种新颖而有效的优化框架，该框架通过结合HOCBF与QP解决了复杂系统的安全控制优化问题。 - 成功将理论应用于ACC与机器人导航中，解决了实际场景中安全与控制约束同时存在时的问题。

此研究在学术价值和工程应用上都具有重要意义。学术上，它扩展了控制理论中屏障函数的基本思路，提供了更普适的方法；工程上，该方法为自动驾驶、工业自动化与机器人领域提供了关键技术支持。

突出亮点

该研究的亮点包括： 1. 首次提出高阶控制屏障函数（HOCBF）及其递归定义，不再局限于相对阶数为1的约束问题。 2. 引入了惩罚法与参数化方法，显著提高了问题可行性。 3. 提供了广泛适用的优化框架，结合CBF与CLF以满足高维动态系统的安全性与稳定性需求。

未来工作方向

作者提出，未来将结合机器学习方法进一步提升系统性能，探索在线优化与自主学习能力。此外，还计划研究适用于非凸集合的优化技术。