基于集合论的安全监控控制：保障风力发电机组提供充足频率响应

一、 研究团队与发表信息

本项研究由Yichen Zhang（学生会员）、M. Ehsan Raoufat（学生会员）、Kevin Tomsovic（会士）和Seddik M. Djouadi（会员）共同完成。所有作者均来自田纳西大学诺克斯维尔分校的Min H. Kao电气工程与计算机科学系。这项研究以题为《Set Theory-Based Safety Supervisory Control for Wind Turbines to Ensure Adequate Frequency Response》的论文形式，于2019年1月发表在IEEE Transactions on Power Systems期刊第34卷第1期（第680-692页）。

二、 学术背景与研究目标

本研究属于电力系统稳定性控制领域，特别是针对高比例可再生能源接入电网后的频率稳定问题。随着风电等通过变流器并网的电源（Converter-Interfaced Sources， CIS）渗透率不断提高，系统总惯性下降，导致电网对功率扰动的频率响应能力变差。即便是较小的功率扰动也可能在暂态期间（即惯性和一次响应阶段）引发较大的频率偏移。这种不良的暂态响应可能触发不必要的过/欠频继电器动作，即使系统本身有足够能力恢复到可行的稳态。因此，在特定扰动下，将系统频率维持在连续运行区（或称“安全”限值）内变得日益重要，这对于避免不必要的发电和负荷损失至关重要。

风力发电机组（Wind Turbine Generators, WTGs）普遍具备频率支撑功能（如惯性模拟、一次调频），但现有研究大多停留在功能实现层面。如何设计这些控制器以确保系统在扰动后获得充足的频率响应（即频率轨迹始终保持在预设的安全边界内），尚未得到深入研究。这面临两大挑战：首先，WTGs的支撑功能通常设有较大的死区（Deadbands），以确保其对电网小范围频率波动不动作、优先捕获最大风能。这使得集成了支撑功能的WTG成为一个混合动态系统，其在不同运行模式（最大功率点跟踪模式与支撑模式）之间切换的时机难以确定。其次，现有控制器缺乏“系统感知”能力，通常仅使用终端测量信号，而无法评估自身动作对系统整体频率动态的影响。

针对上述挑战，本研究旨在提出一个系统性的控制框架，其核心目标是：为风力发电机组设计一种安全监控器，能够实时评估系统状态，并精确地在最佳时机激活WTG的电网支撑模式，从而确保系统频率响应始终安全（不越限）。

三、 详细工作流程与方法

本研究的工作流程可以概括为理论框架构建、控制器设计、仿真验证以及扩展应用四个主要阶段。

第一阶段：理论基础与安全区域（Region of Safety, ROS）概念构建。 研究者首先将问题形式化。他们建立了一个结合系统频率响应（System Frequency Response, SFR）模型和WTG支撑响应模型的复合模型，用以描述在发生功率扰动（δpd）后，系统频率的动态行为。该模型是一个混合系统，其动态方程取决于WTG的支撑模式是否被激活。控制目标定义为：给定一个最坏情况扰动集（D）和安全频率限值（定义安全集Xs和不安全集Xu），设计一个监控器，使得WTG在扰动发生后的某个反应时间（tr）激活支撑模式，从而保证系统频率轨迹永不进入Xu。

研究的核心创新是引入了“安全区域”的概念。安全区域被定义为状态空间中的一个集合，只要系统初始状态位于此集合内，那么在未来所有时间内，对于给定的扰动集，系统的轨迹都将保持在安全集Xs内。如果将WTG的支撑模式（如惯性模拟）视为一个具有特定动态（向量场f0）的系统，那么这个模式下的安全区域（ROS0）就代表了能够被该模式“拯救”的所有初始状态的集合。安全切换的原理基于一个关键命题：对于一个混合系统，从模式i切换到模式j的时刻ts是安全的，当且仅当切换时刻的状态φi(ts)位于模式j的安全区域Sj内。

第二阶段：最大安全区域计算与安全监控器设计。 计算出支撑模式下的最大安全区域是设计精确监控器的关键。传统方法（如障碍函数验证）只能验证给定初始集是否为安全区域，而无法直接求解最大安全区域。本文提出了一种基于测度理论和平方和规划（Sum of Squares Programming， SOS）的优化方法。

研究者构建了一个无限维线性规划问题，其目标是寻找一个连续函数b(x)和一个松弛函数ω(x)。该问题的约束条件保证了：1）b(x)在不安全集上为正；2）b(x)沿着系统轨迹方向的时间导数为非正（被动性条件）；3）ω(x)在整个计算域上始终大于等于b(x)+1。通过最小化ω(x)在计算域上的积分面积，可以迫使b(x)+1从上方逼近真实最大安全区域的指示函数。最终，函数ω(x)-1的零子水平集就给出了最大安全区域的一个内近似。当所有函数限制为多项式、所有集合为基本闭半代数集时，该优化问题可以转化为一个平方和规划问题，进而通过工具（如YALMIP）求解为半定规划，从而得到多项式形式的障碍函数b(x)和ω(x)。

由此得到的多项式b(x)或其变体，其零水平集就定义了安全区域的边界，被用作安全监控器。监控器的工作原理是：实时将系统状态观测值x̂代入b(x)中计算。当b(x̂) > 0时，意味着系统状态已接近或超出安全边界，需要立即激活支撑模式；当b(x̂) ≤ 0时，系统状态仍处于安全区域内。这为WTG提供了量化的、实时的安全切换裕度，替代了传统固定的死区设置。

第三阶段：单机系统仿真验证。 为了验证所提框架的有效性，研究者首先在一个由柴油发电机和风机供电的孤岛微电网非线性模型上进行测试。研究使用了详细的三相同步发电机模型和采用平均变流器模型的4型风机。首先，根据线性化的SFR-WTG复合模型，利用上述SOS程序计算出了惯性模拟模式下的安全区域（ROS），并将其投影到频率-机械功率相平面上。通过大量仿真获得的“真实”安全区域与计算得到的安全区域边界进行了对比，显示估算精度很高。 随后，将计算得到的安全区域多项式部署为在线监控器，构成安全监控控制系统。该SSC集成了一个状态观测器（利用SFR模型和本地频率测量值估计系统状态）和前述的安全区域评估器。仿真在最坏情况扰动下进行。结果显示，当监控器值（即b(x)）穿越零值时，SSC准确触发了惯性模拟模式，使得频率的最低点（Nadir）恰好达到安全限值，证明了所估算的最大安全区域和切换时机的精确性。

第四阶段：多机系统应用与架构设计。 将SSC推广到大规模多机系统（如IEEE 39节点系统）面临模型维度过高导致SOS问题计算复杂度过大的挑战。为此，研究采用了惯性中心频率模型作为等效的SFR模型，用以表征系统整体的频率动态。同时，对WTG集群采用聚合模型。在此模型基础上，计算针对惯性中心频率的安全区域。

在通信架构上，提出了去中心化的设计方案。由于频率是全局量，在小规模系统中，单台发电机的本地频率可以较好地近似惯性中心频率。因此，可以将完整的SSC（包括基于惯性中心频率模型的状态观测器和安全监控器）集成到每台作为执行机构的WTG中，仅需本地频率测量，无需中央通信。这大大提高了可靠性和实用性。 此外，考虑到可再生能源出力的随机性和间歇性会导致系统惯性和运行点变化，研究还提出了一个双环自适应框架。内环（触发环）是基于本地测量的快速决策环（秒级），使用最新的安全区域进行监控。外环（调度环）则接收全局信息（如机组组合、风电出力），在更慢的时间尺度（如经济调度周期）更新SFR模型参数，重新计算安全区域，并调度各WTG的支撑增益和资源分配，从而使得SSC对系统运行条件的变化具有鲁棒性。

四、 主要研究结果

1. 理论框架验证结果：在单机微电网仿真中，基于SOS计算得到的安全区域与大量仿真获得的“真实”安全区域高度吻合。这表明所提出的优化公式能够有效地逼近最大安全区域，克服了传统方法在估算上的保守性或困难。
2. 控制器性能结果：
   • 单机系统：仿真表明，集成SSC的WTG能够在频率跌落至安全限值前精确触发支撑动作。频率轨迹的Nadir点被成功限制在安全边界上，验证了SSC在确定临界切换时机方面的优越性，实现了“刚刚好”的控制，既避免了过早动作（减少机械应力），也防止了过晚动作（导致越限）。
   • 多机系统（IEEE 39总线）：在含高比例风电的修改版新英格兰系统中，针对最坏情况扰动（失去一台400MW传统机组）进行了测试。设计了两个场景：场景一，单个WTG（增益较大）作为执行机构；场景二，多个WTG（增益较小）协调作为执行机构。
     • 在场景一中，去中心化SSC成功触发WTG的支撑，使惯性中心频率安全，反应时间约为1秒。各同步发电机频率与惯性中心频率接近，证明保证惯性中心频率安全能有效降低单个发电机误触发欠频减载的风险。
     • 在场景二中，多个WTG基于本地略有差异的频率测量，在0.5至0.7秒内相继被触发，协调提供了频率支撑，同样确保了惯性中心频率的安全。这验证了去中心化架构在有小频率差异时的可行性和协调能力。
3. 自适应能力验证结果：通过改变等效系统惯性（模拟不同可再生能源渗透率），调度环重新计算了相应的安全区域。结果显示，随着系统惯性降低（可再生渗透率增加），安全区域显著缩小。仿真表明，如果使用过时的（对应高惯性的）安全区域，则无法及时触发支撑，导致频率越限；而使用更新的（对应低惯性的）安全区域，则能在大约0.2秒的反应时间内正确动作，确保频率安全。这证明了自适应调度环对于应对系统运行条件变化的必要性。

五、 研究结论与价值

本研究提出并验证了一套基于集合论和平方和规划的、系统性的安全监控控制框架，用于合成风力发电机组的电网支撑模式，以保障电力系统充足的频率响应。主要结论与价值如下：

• 科学价值：

  1. 从形式化方法角度，为电力系统混合控制问题提供了新思路。将安全验证和可达集分析理论引入频率控制领域，严格定义了安全区域和最大安全区域，并建立了基于安全区域的混合模式安全切换原理。
  2. 提出了一个计算最大安全区域（或不变后向可达集）的优化公式，并给出了其几何解释。通过平方和规划将其转化为可求解的半定规划问题，为高阶非线性/混合系统的安全分析提供了实用的计算工具。
  3. 证明了该方法在估算临界切换边界（等效于最优死区）方面具有高精度，为理解和支持WTG的混合动态行为提供了系统化分析途径。

• 应用价值：

  1. 设计了一种新型的安全监控控制器。它赋予了WTG“系统感知”能力，能够根据实时系统状态提供量化的安全裕度，从而在最精确的时刻激活支撑功能，在确保频率安全的同时，最大限度地减少对WTG正常发电和机械部件的不必要干预。
  2. 提出了适用于小规模系统的去中心化通信架构，降低了实施复杂度和成本，提高了可靠性。
  3. 引入了自适应调度环，使SSC能够适应可再生能源渗透率变化导致的系统惯性波动，增强了控制器的鲁棒性和实用性。
  4. 该框架不仅适用于WTG，还可推广至光伏、储能等其他变流器接口电源，甚至可用于设计其他 remedial action schemes（补救控制方案）。

六、 研究亮点

1. 方法新颖性：首次将集合论中的安全区域、可达集分析与平方和规划优化系统性地应用于解决风力发电机组参与频率控制时的模式切换时序难题，为这一工程问题建立了坚实的理论基础和计算框架。
2. 控制器设计的精确性与系统性：所提出的SSC不是基于经验或试错的固定死区，而是基于在线实时计算的系统安全状态，实现了动态、自适应的最优切换，显著降低了保守性。
3. 解决方案的完整性：研究不仅提出了核心算法，还深入考虑了工程应用的实际问题，包括多机系统的模型简化（惯性中心频率）、去中心化部署架构以及应对运行条件变化的自适应机制，形成了一个从理论到仿真、从单机到多机、从固定到自适应的完整技术方案。
4. 验证的充分性：研究使用了从非线性微电网到标准IEEE 39节点系统等多个层次的仿真模型，并采用了工业界通用的模型（如WECC通用风机模型）和商业软件（如TSAT），增强了研究成果的可信度和工业应用潜力。

七、 其他有价值内容

论文附录A对惯性模拟增益的设计提供了指导性公式。该公式将所需增益与系统惯性响应需求、WTG的可用容量和转子速度安全限值联系起来，为实际工程中参数整定提供了依据。虽然其中部分参数（如平均频率变化率）需要通过试错调整，但该公式明确了增益设计需要考虑的关键因素及其相互关系，具有重要的参考价值。