学术报告

本文是发表在《Automatica》期刊上的一篇研究论文，标题为《MPC on manifolds with an application to the control of spacecraft attitude on SO(3)》。文章的主要作者包括 Uroš V. Kalabić（美国密歇根大学航空航天工程系）、Rohit Gupta（美国密歇根大学航空航天工程系）、Stefano Di Cairano（Mitsubishi Electric Research Laboratories，剑桥）、Anthony M. Bloch（美国密歇根大学数学系）和 Ilya V. Kolmanovsky（美国密歇根大学航空航天工程系）。文章于 2016 年 12 月 8 日正式在线发表，研究集中于在几何流形（manifolds）上设计模型预测控制（Model Predictive Control, MPC）的理论框架，并应用于航天器姿态的控制问题。

研究背景与动机

传统的模型预测控制（MPC）方法通常应用于其动态系统的状态可描述为欧几里得空间 ( R^n )，并假设系统在一个“平坦”的向量空间内演化。然而，许多机械系统，例如航天器的姿态控制问题，系统的状态空间为曲面的流形（如 ( SO(3) )）。在这样的背景下，传统的 MPC 方法存在不足，这是因为普通的数值积分方法无法保证流形上的对称性，可能无法正确表示实际的动力学。因此，开发能够适配流形动态系统的 MPC 方法具有重要意义。

除此之外，数学上存在一个重要问题，即对于拓扑具有特定性质的流形，存在限制使得无法设计全局稳定的、连续的控制律。特别是在本文中讨论的刚体流形 ( SO(3) ) 上，全局稳定的连续控制律是不存在的。因此，作者的研究目标包括： 1. 在流形体系下，构建一套 MPC 的设计理论框架； 2. 应用上述理论解决具体的实际问题——航天器姿态控制； 3. 证明即使没有全局稳定的连续控制律，MPC 仍然可以提供保证收敛至全局稳定平衡点的控制策略。

研究流程与方法

为解决上述问题，本文提出了一种基于光滑流形的离散时间动态系统上构建 MPC 控制律的方法。研究内容如下：

总体理论框架与方法设计

1. 动态系统： 本研究中，动态系统形式化为： ( x_{k+1} = f(x_k, u_k) )，其中状态 ( x_k ) 和控制输入 ( u_k ) 定义在光滑流形上。状态约束和控制约束为 ( x_k \in X )，( u_k \in U )，目标为平衡点 ( x_e )，满足 ( f(x_e, u_e) = x_e )。

2. 预测控制问题（MPC）： 通过优化有限时域目标函数 ( VN )，并引入终端惩罚项与终端集合，确保递归可行性与系统闭环稳定性。终端集合由一个局部控制律 ( \kappa ) 支持，保证所有状态能正确进入终端集。

3. 非连续控制的必要性： 在特定类型的流形（如 ( SO(3) )）上，即使是离散时间的动态系统，也没有连续的、全局稳定的控制律。作者通过 Lefschetz–Hopf 定理证明这一点。

4. 终端控制律设计： 作者利用微分同胚（diffeomorphism）将流形上的局部坐标转化为平坦空间，通过线性二次型控制方法（LQR）设计局部稳定控制律，再将其映射回原流形坐标系中。

实验应用：航天器姿态控制问题

研究应用于航天器姿态控制（刚体动力学控制），其状态变化演化于 ( SO(3) ) 流形：

1. 刚体动力学建模： 使用 Lie 群变分积分器（Lie Group Variational Integrator, LGVI）对系统离散化，保证更新的状态严格位于 ( SO(3) ) 内。

2. 成本函数设计与预测控制目标： 成本函数包括姿态变量、状态变化率、控制输入的加权和。MPC 通过求解离散预测控制问题实现目标的跟踪和稳定。

3. 边界条件与全局不连续性： 在航天器从 180° 旋转开始进行回到初始状态的实验中，展现了控制律在 (-180°) 和 (+180°) 初始条件间的极值突变，从而证实了不连续性。

主要结果与数据

1. 全局稳定性证明： 理论分析表明，通过正确设计预测时域 ( N ) 和终端集约束，MPC 控制可以确保流形上全局渐近稳定性，即使平衡点周围的控制策略是非连续的。

2. 航天器姿态控制仿真： 在实验中，面对初始旋转角度为 (+180°) 和 (-0.99 \cdot 180°) 的两种情况，尽管初始状态接近，最终产生的控制路径截然不同（在 ( τ_k ) 和 ( \omega_k ) 有明显的符号差异），验证了理论中预测的控制不连续性。

意义与价值

这篇研究在理论和实践上都具有重要意义： - 数学理论意义： 本研究从数学上的流形性质出发，发展了一种通用、系统的控制方法，用于处理复杂系统的动力学问题。 - 工程与应用价值： 提出的 MPC 方法能够应用于航天器姿态的实际控制，通过 Lie 群变分积分器（LGVI）获得更高的精度和动态更新的对称性，适用于航空航天等高精度控制领域。 - 关键发现： 不连续控制并不是限制，而是通过 MPC 的优化特性有效规避了数学的拓扑障碍。

研究亮点

1. 创新性方法学： 本文首次将 MPC 框架系统扩展并适配到光滑流形上，涵盖了非线性动力学的更大范围。
2. 拓扑障碍绕过： 使用 MPC 的不连续控制策略适配了 Euler 特征数 (\chi(M) \neq 1) 的流形，这对动态控制领域具有突破性意义。
3. 实际工程应用： 在航天器姿态这一典型问题上实现了理论与实践的整合，证明了方法的通用性和功能性。

通过这一研究，可以看出，几何控制理论与现代优化控制方法结合，可以产生具有较高理论深度与实际价值的新算法。未来，此类控制方法可能会在机器人操作、自动驾驶等领域中进一步扩展和应用，为实现更复杂、更灵活的动态系统控制提供理论支持和实践工具。