本文为单一原创研究论文，类型a。以下为学术报告内容：

本文的研究由中国科学院数学与系统科学研究院、中国科学院大学数学科学学院的冯悦、关志金、谢和虎，以及北京工业大学数学系的周晨光共同完成。论文发表于 Journal of Computational Mathematics 第44卷第1期，2026年，页码135–164，2024年4月9日投稿，2024年8月15日修回，2024年10月12日接受，2024年11月12日在线发表。

该研究属于计算数学与科学计算领域中的偏微分方程特征值问题数值方法方向。特征值问题在科学与工程中广泛存在，例如结构振动分析、量子力学能级计算、电磁场模态分析等。由于特征值问题在计算量和存储需求上明显高于相应的线性边值问题，发展高效、可扩展的特征值求解算法一直是数值计算的重要课题。传统的特征值求解方法包括Jacobi–Davidson方法、预条件逆迭代法、Krylov子空间方法以及广义共轭梯度特征值求解器等，这些方法在求解大量特征对时通常需要在Rayleigh–Ritz过程中执行高维空间中的正交化和内积运算，这对并行计算造成了严重的通信瓶颈。近年来，增广子空间方法及基于其的多水平校正方法被提出，用来降低高维正交化的成本。然而，已有研究主要基于协调有限元方法，对于弱伽辽金有限元方法（weak Galerkin finite element method, WG方法）这一非标准有限元方法在特征值问题中的增广子空间技术研究仍然很少。本文的目标是设计一类基于弱伽辽金有限元近似的增广子空间格式，用于求解二阶椭圆特征值问题，并给出相应的理论误差估计及数值验证。

论文的研究流程可以分为方法构建、理论分析和数值实验三大部分。在方法构建部分，作者首先给出了二阶椭圆特征值问题的变分形式，定义了弱伽辽金有限元空间。弱伽辽金有限元方法与传统有限元方法不同，它不要求近似函数在单元间具有连续性，而是通过离散弱梯度算子和稳定子来弱化地处理微分算子和连续性条件。该方法在网格适应性、高阶精度构造和多边形网格实现上具有优势。论文中采用了两种离散弱梯度空间的选择：与RT元（Raviart–Thomas元素）对应的 (V^{r,r}) 空间以及与BDM元（Brezzi–Douglas–Marini元素）对应的 (V^{r,r+1}) 空间。作者引入了弱梯度算子 (\nabla_w)，其定义为在局部单元上满足弱形式的梯度逼近，并证明了对于投影算子 (q_h)，有 (\nabla_w q_h v = q_h \nabla v) 的恒等关系，这保证了弱梯度对经典梯度的良好逼近性质。在离散特征值问题中，双线性形式 (a_h(\cdot,\cdot)) 和 (b_h(\cdot,\cdot)) 分别基于弱梯度和单元内部L2内积构造。

其次，作者提出了增广子空间算法。算法3.1用于求解前k个特征对，其流程为：给定初始特征函数近似，构造由粗网格上的协调线性有限元空间 (WH) 和当前特征函数近似张成的增广子空间 (V{H,h}^{(\ell)})，在该低维空间中求解特征值问题；然后利用得到的特征值在细网格弱伽辽金有限元空间 (V_h) 中求解线性边值问题，得到新的特征函数近似；再用新的近似构造增广子空间并再次求解低维特征值问题；重复迭代直到收敛。算法3.2是针对单个特征对的版本，其基本流程与算法3.1类似，但增广子空间由粗空间 (W_H) 和单个特征函数近似张成，避免了多个向量内积的并行瓶颈，更适合于单进程计算环境。两种算法的核心思想都是将细网格上的高维特征值问题转化为粗空间加少数细网格函数的低维特征值问题，并结合细网格线性边值问题的求解。

在理论分析部分，作者首先给出了弱伽辽金有限元方法对特征值问题的先验误差估计。定理2.1和定理2.2分别针对前k个特征对和单个特征对，给出了在离散范数 (|\cdot|{a,h}) 和 (|\cdot|{b,h}) 下的误差上界。这些误差界明确依赖于特征值间隙 (\delta{k,i,h}) 和 (\delta{\lambda,h})，以及投影误差 (|q_h u - Ph u|{a,h})、(|q_h u - Ph u|{b,h})。结合已知的投影误差估计，可以得到特征函数在 (a,h)-范数下的 (O(h^m)) 收敛阶和在 (b,h)-范数下的 (O(h^{m+s})) 收敛阶。与已有文献相比，这里的误差估计更为精细，明确给出了常数对特征值分布和间隙的依赖关系。

接下来，作者分析了增广子空间方法的收敛性。通过引入投影算子 (P_{H,h}^{(\ell)}: Vh \to V{H,h}^{(\ell)}) 和一个与粗空间逼近能力相关的量 (\eta_a(WH))，建立了特征函数误差在 (|\cdot|{a,h}) 和 (|\cdot|_{b,h}) 范数下的收缩性质。定理3.1表明，算法3.1产生的特征函数近似满足不等式

[ | \bar{u}{i,h} - F{k,h}^{(\ell+1)} \bar{u}{i,h} |{a,h} \le \gamma | \bar{u}{i,h} - F{k,h}^{(\ell)} \bar{u}{i,h} |{a,h}, ]

其中收缩因子 (\gamma) 与 (\eta_a(W_H)^2) 成正比。由于 (\eta_a(W_H)) 本身与粗网格尺寸 (H) 线性相关，因此每次增广子空间迭代的误差收缩率与 (H^2) 成正比，即算法具有关于粗网格尺寸的二阶收敛速度。类似地，定理3.2给出了算法3.2对单个特征对的误差收缩估计，其收敛率同样依赖于粗网格尺寸的二次方。这些结果表明，本文提出的增广子空间方法在粗、细网格尺寸选择上完全独立，这是与已有两网格弱伽辽金方法的重要区别。在已有文献中，两网格方法的粗细网格尺寸需要满足一定的关系以保证收敛精度，而本文的算法允许完全独立选择粗细网格，从而可以直接用于构造基于弱伽辽金离散的代数特征值求解器。

在数值实验部分，作者以Laplace特征值问题为例，在单位方形区域 (\Omega=(0,1)\times(0,1)) 上验证了所提出算法的收敛速率。数值结果表明，增广子空间方法能够有效地求解二阶椭圆特征值问题，且其收敛速度与理论分析一致，即关于粗网格尺寸具有二阶收敛率。通过改变粗网格和细网格尺寸，作者验证了粗网格尺寸对收敛速度的影响，发现粗网格空间越大，(\eta_a(W_H)) 越小，算法的收敛速度越快，这与理论分析相符。

本文的主要贡献可以归纳为以下几点：第一，首次针对弱伽辽金有限元离散特征值问题设计了增广子空间方法，并给出了完整的理论收敛性分析；第二，本文提出的方法允许粗、细网格尺寸独立选择，克服了已有两网格弱伽辽金方法中粗细网格尺寸需要满足耦合条件的限制，为构造基于弱伽辽金方法的高效特征值求解器提供了理论基础；第三，本文给出了精细的特征值误差估计，明确给出了误差常数对特征值间隙和分布函数的依赖关系，这比已有结果更为清晰；第四，论文提出了针对单个特征对的增广子空间算法版本，避免了分布式并行计算中多个高维向量的内积通信，从而为解决并行计算中的通信瓶颈提供了新思路。

本文在弱伽辽金有限元方法与增广子空间方法的交叉领域做出了创新性工作，既丰富了特征值问题非标准有限元离散的高效求解方法，也为后续在复杂几何区域、多边形网格和非协调方法框架下发展特征值快速算法奠定了理论和算法基础。其研究成果在科学与工程计算中具有潜在的应用价值，特别是在需要大规模特征值求解的并行计算场景中。