本文由Shama Parveen、Avshish Kumar、Samina Husain和Mushahid Husain等研究人员合作完成，他们分别来自Jamia Millia Islamia (Central University)的物理系和纳米科学与纳米技术中心。该研究发表在《Physica B》期刊上，于2016年10月24日在线发布，2017年正式出版。
碳纳米管(CNTs)自1991年被Iijima发现以来，因其独特的物理化学性质成为纳米材料研究的热点。其中，场发射(Field Emission, FE)特性尤为突出，这使得CNTs在场发射显示器、纳米电子器件等领域具有广阔应用前景。Fowler-Nordheim(FN)理论最初是为解释平坦金属表面的场发射现象而提出的量子隧穿理论，而CNTs具有纳米尺度的尖端几何结构，其场发射行为需要特别的理论解释。
本研究旨在完善FN理论在CNTs场发射中的应用，通过数学推导和实验验证，建立适用于CNTs的场发射理论框架。具体目标包括：1) 完整推导FN方程的解；2) 建立CNTs场发射参数的计算方法；3) 开发反向工程计算纳米结构功函数的方法；4) 推导有效发射面积公式并应用于CNTs场发射器。
研究首先回顾了FN理论的基本假设：1) 金属具有自由电子能带结构；2) 电子隧穿采用WKB近似；3) 外加电场下表面势垒呈方形；4) 势垒可表示为叠加了经典镜像势的三角形势垒。研究团队通过求解含隧穿势的薛定谔方程，系统推导了FN方程。
推导过程从考虑不同电场条件下的势垒变化开始：无电场时的势垒表达式为V(x)=E_vac=E_f+∅；施加电场后变为V(x)=E_vac-eEx；考虑镜像电荷效应时更精确的表达式为V(x)=E_vac-eEx-e²/(16πε₀x)。为简化推导，研究采用了不考虑镜像电荷效应的简化势垒形式V(x)=V₀-eEx。
通过费米-狄拉克分布函数和WKB近似，研究团队最终推导出电流密度的表达式：j=(Ae²/∅)exp(-B∅³/²/e)，其中A=e³/8πh，B=4√(2m)/3h。这一推导为后续CNTs场发射参数的量化分析奠定了理论基础。
针对CNTs的纳米尖端几何结构，研究提出了场增强因子(Field Enhancement Factor, β)模型。该模型将CNTs简化为连接金属板的金属球体，推导出β=x/r，即长度与半径之比。这一结果表明，CNTs的高纵横比(可达13200,000)使其能够将局域电场增强数千倍，从而显著降低工作电压。
研究进一步建立了FN理论在CNTs场发射中的具体应用方法： 1) 场增强因子计算：通过FN图的斜率m，使用公式β=B∅³/²d/m可精确计算β值。研究指出CNTs的β值通常在10-10,000范围内，通过双层CNTs结构可提高到13,500。 2) 有效发射面积计算：推导出公式α=(I∅/Ae²)exp(B∅³/²/e)，用于量化实际参与电子发射的表面积。研究发现仅需1cm²的CNTs薄膜即可获得1A电流，这对器件小型化具有重要意义。 3) 功函数反向计算：通过FN图的截距c，使用公式∅=(m²/AB²exp©)¹/²可精确测定CNTs的功函数，为材料性能评估提供新方法。
本研究的主要创新点和重要发现包括： 1) 首次完整推导了FN方程的解，填补了理论空白； 2) 建立了适用于CNTs尖端几何结构的场发射理论框架； 3) 开发了通过FN图反向计算纳米材料功函数的新方法； 4) 推导出有效发射面积的定量计算公式； 5) 发现双层CNTs结构可显著提高场增强因子。
这些理论成果为CNTs在场发射显示器件中的应用提供了重要指导。研究表明，通过优化CNTs的纵横比和排列密度，可有效调控场发射性能。同时，研究也指出过于密集的CNTs排列会导致电场屏蔽效应，反而降低发射性能。
该研究的理论成果不仅适用于CNTs，也可推广到其他一维纳米结构如纳米线、纳米棒等的场发射分析。研究者特别强调了这些发现在下一代场发射显示器件开发中的潜在应用价值。
在医学领域，CNTs场发射特性可用于开发高精度医疗成像设备；在航天工程中，可应用于场致离子发射系统；在微电子领域，为纳米尺度电子器件开发提供理论基础。研究还指出，FN理论的完善将有助于其他纳米材料(如ZnO、Si和金属合金纳米颗粒)场发射性能的研究。
研究团队感谢印度电子与信息技术部(DeitY)提供的资金支持(项目编号20(10)/2007-Nano)，以及CSIR为Shama Parveen和Avshish Kumar提供的研究奖学金。论文引用了104篇参考文献，涵盖了CNTs发现、场发射理论、纳米材料特性和应用等多个方面，为研究提供了坚实的文献基础。
这项研究通过理论推导与实验验证相结合，不仅深化了对CNTs场发射机制的理解，也为纳米材料在场发射器件中的设计和优化提供了重要工具，具有显著的科学价值和应用前景。