地球物理电磁三维建模的稳健可扩展有限元求解方法

作者及发表信息
本研究由德国波茨坦地学研究中心（GFZ German Research Centre for Geosciences）的Alexander V. Grayver与德州农工大学（Texas A&M University）的Markus Bürg合作完成，发表于2014年4月的期刊《Geophysical Journal International》（Geophys. J. Int. 198, 110–125）。

学术背景
地球电磁学（geo-electromagnetics）领域常需解决三维复杂介质中的电磁场计算问题，例如大地电磁法（magnetotellurics, MT）和可控源电磁法（controlled-source EM）。传统方法在面临高电导率对比（如空气与地下介质的电导率差异达10^8 S/m）、宽频带范围（0.001–10^4 Hz）及局部网格加密时，常因系统矩阵的病态性（ill-conditioned）导致求解效率低下。本研究旨在开发一种稳健且可扩展的三维电磁建模方法，结合有限元法（Finite Element Method, FEM）与新型预处理器（pre-conditioner），以应对上述挑战。

研究流程与方法
1. 问题建模与离散化
- 控制方程：采用时谐（time-harmonic）麦克斯韦方程组，以电场强度E为变量，通过二阶弱形式（weak formulation）推导，并引入非结构化六面体网格（hexahedral meshes）进行空间离散。
- 网格处理：支持非共形网格（non-conforming meshes）和悬挂节点（hanging nodes），通过约束自由度（degrees of freedom, DOFs）保证切向场连续性。
- 误差估计：开发后验误差估计器（a posteriori error estimator），结合残差与电流密度跳跃项（jump terms）指导局部自适应网格加密（adaptive mesh refinement）。

1. 求解策略

   • 实数化拆分：将复数方程拆分为两个耦合的实数方程，避免复数运算的高计算成本。
     
   • 块对角预处理器（block-diagonal pre-conditioner）：设计对称正定预处理器P_A，将原问题转化为两个更小的实数对称问题。
     
   • 辅助空间预处理器（auxiliary space pre-conditioner）：将原问题重构为多个简单问题（如标量泊松方程），通过代数多重网格法（algebraic multigrid, AMG）高效求解。
     
   • 直接求解对比：对中等规模问题，采用MUMPS直接求解器进行LDL^T分解，验证其复用因子分解（factorization reuse）在多右端项（multiple right-hand sides）场景下的优势。

2. 验证与性能测试

   • 基准模型：使用COMMEMI 3D-1和3D-2模型验证算法正确性，对比文献结果误差%。
     
   • 鲁棒性测试：在10^8电导率对比、0.001–10^4 Hz频段及局部加密网格（达2亿自由度）下，迭代次数（n_iter）与问题规模无关，仅随频率轻微增加（7–20次）。
     
   • 并行扩展性：在分布式平台（32节点）上实现强扩展（strong scaling），每个MPI进程需处理≥10^5 DOFs以避免通信过载。

主要结果
1. 求解效率
- 辅助空间预处理器在单右端项问题时比直接求解快2倍，内存占用线性增长（直接求解为非线性增长）。
- 对多右端项问题，直接求解器在n* > 10时更优（如反演问题）。

1. 算法鲁棒性

   • 在自适应网格加密（体积比>10^14）下，FGMRES迭代次数保持稳定（16次），内层CG迭代仅小幅增加（6→12次）。
     
   • 相比传统ILU/SOR预处理器，新方法迭代次数与问题规模无关（如3.2M DOFs仅需18次迭代，而ILU(2)需>5000次）。
     

2. 应用价值

   • 无需散度校正（divergence correction）即可处理低频问题，避免虚假解（spurious solutions）。
     
   • 开源软件deal.II与Hypre的集成支持大规模并行计算（达128MPI进程）。

结论与意义
本研究提出了一种兼具数学严谨性与工程实用性的三维电磁建模框架：
1. 科学价值：通过实数化拆分与辅助空间技术，解决了传统几何多重网格（geometric multigrid）在非结构化网格中的实现难题。
2. 应用价值：为大地电磁和可控源电磁数据的三维反演提供了高效正演引擎，尤其适合复杂地质构造（如含金属管道或钻孔套管）的模拟。

创新亮点
1. 方法创新：首次将辅助空间预处理器应用于地球电磁问题，结合非共形网格与误差驱动自适应加密。
2. 性能突破：在200M自由度问题上实现强扩展，为同类研究中最高效的FEM实现之一。
3. 开源贡献：完整代码基于deal.II库公开，推动社区方法复用。

其他价值
文中详细分析了直接与迭代求解器的权衡（time-memory trade-off），为后续研究提供了硬件配置与算法选择的指导原则。