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作者及机构
本研究由Francesco Ferrian（意大利都灵理工大学结构、地质与建筑工程系）、Alberto Campagnolo（意大利帕多瓦大学工业工程系）和Alberto Sapora（都灵理工大学结构、地质与建筑工程系）合作完成，发表于2024年11月30日出版的《International Journal of Fatigue》期刊，论文标题为《A finite fracture mechanics approach to estimate the fatigue endurance limit of V-notched bars under multiaxial loading》。

学术背景

研究领域与动机
该研究属于疲劳断裂力学（Fatigue Fracture Mechanics）领域，聚焦于多轴载荷下尖锐V型缺口构件的疲劳极限预测。工程中，许多关键部件（如轴、连杆）因几何不连续（如缺口）和复杂载荷（如弯曲-扭转组合）导致局部多轴应力状态，易引发疲劳失效。传统线性弹性断裂力学（LEFM, Linear Elastic Fracture Mechanics）无法有效预测此类问题，因其假设裂纹连续扩展且忽略尺寸效应。为此，作者提出基于有限断裂力学（FFM, Finite Fracture Mechanics）的耦合准则，通过同时满足应力条件和能量平衡，解决多轴疲劳强度评估的难题。

理论基础
FFM的核心是假设裂纹以有限长度扩展，而非无限小增量。其优势在于能够捕捉缺口构件的尺寸效应（size effect），即强度随几何特征（如缺口深度）的变化规律。此前，FFM已成功应用于静态载荷下的脆性材料（如PMMA）和单向疲劳载荷（如纯I型或III型），但多轴疲劳（混合I/III型）的FFM模型尚未建立。

研究目标
本研究旨在：
1. 开发一种半解析FFM方法，预测V型缺口棒材在多轴载荷下的疲劳极限；
2. 假设裂纹沿缺口平分面以周向形状扩展，简化多轴疲劳的复杂物理过程；
3. 通过大量实验数据验证模型的普适性，涵盖多种金属材料、缺口几何和载荷条件。

研究流程与方法

1. 模型构建

FFM耦合准则
- 应力条件：采用椭圆准则（elliptic criterion）结合缺口尖端的正应力（δσyy）和剪应力（δτyz）场，表达式为：
[ \left(\frac{\delta\sigma_{yy}(\ell_c)}{\delta\sigma0}\right)^2 + \left(\frac{\delta\tau{yz}(\ell_c)}{\delta\tau_0}\right)^2 = 1 ]
其中，(\ell_c)为临界裂纹扩展长度，(\delta\sigma_0)和(\delta\tau_0)分别为材料的轴向和扭转疲劳极限。
- 能量条件：基于Hutchinson-Suo经验公式，引入I型和III型应力强度因子（SIF, Stress Intensity Factor）阈值（δKi,th和δKiii,th），通过积分形式表达能量释放率平衡。

关键参数计算
- 应力场与SIF：利用Williams和Qian-Hasebe的渐近解描述缺口尖端奇异应力场，并通过形状函数k1和k3计算缺口应力强度因子（NSIF, Notch Stress Intensity Factor）。
- 裂纹扩展方向：假设裂纹沿缺口平分面扩展，避免多轴疲劳中常见的裂纹分叉（facet formation）问题，简化工程分析。

2. 实验验证

数据集
收集57组实验数据，涵盖以下材料与几何条件：
- 材料：低碳钢、钛合金（Ti-6Al-4V）、铸铁（EN-GJS400等），极限抗拉强度（σuts）范围500–1224 MPa；
- 缺口几何：缺口角度ω=35°–90°，深度比a/r=0.13–1；
- 载荷条件：轴向-扭转或弯曲-扭转组合，载荷比R=−1，相位角φ=0°（同相）或90°（异相）。

材料参数确定
- 疲劳极限（δσ0, δτ0）通过标准试样高周疲劳试验获取；
- SIF阈值（δKi,th, δKiii,th）采用文献中的经验公式或等效裂纹假设推导，其中δKiii,th=α·δKi,th，α取1以简化计算。

3. 数值求解

使用MATLAB的fsolve函数（基于Trust-Region-Dogleg算法）求解非线性方程组，迭代确定临界裂纹长度ℓc和疲劳极限δσf。

主要结果

1. 模型预测精度

   • 对大多数数据集，预测误差低于35%，其中平均应力条件（avg-FFM）的保守性更高（误差更低）。例如：
     
     • 低碳钢（σuts=500 MPa）在ω=35°、a/r=0.67时，误差为−17.8%；
       
     • 钛合金Ti-6Al-4V在ω=90°、a/r=1时，误差为14.4%。
       
   • 异相载荷（φ=90°）的预测与同相载荷相当，表明模型对相位角不敏感。
     

2. 临界裂纹长度
   ℓc/r的比值范围为0.01–0.3，验证了渐近应力场假设的有效性（ℓc≪r）。

3. 尺寸效应
   模型成功捕捉了缺口深度（a/r）对疲劳极限的影响，例如：

   • 对于ω=55°的3% Ni钢，a/r从0.13增至0.5时，预测疲劳极限下降40%，与实验趋势一致。
     

结论与价值

科学意义
1. 首次将FFM扩展至多轴疲劳领域，填补了混合I/III型载荷下缺口构件强度预测的空白；
2. 通过简化裂纹路径假设（沿平分面扩展），平衡了模型复杂性与工程实用性；
3. 验证了α=1（δKiii,th=δKi,th）在多轴疲劳中的适用性，为后续研究提供参考。

应用价值
1. 为工程设计提供半解析工具，无需复杂有限元分析即可预测疲劳极限；
2. 支持多种金属材料和缺口几何的评估，适用于航空、汽车等领域的部件寿命设计。

研究亮点

1. 创新方法：提出首个基于FFM的多轴疲劳模型，耦合应力与能量条件；
   
2. 广泛验证：覆盖7类金属、12种缺口配置和多种载荷组合，数据量达57组；
   
3. 工程简化：通过周向裂纹假设规避多轴疲劳的复杂断裂形貌（如facets），提升实用性。
   

其他价值

附录中提供了NSIF形状函数（k1, k3）的详细数据表，支持其他研究者复现或扩展模型。此外，作者讨论了裂纹分叉（facet）现象的局限性，指出未来可通过引入非对称裂纹路径进一步优化模型。