IEEE Transactions on Signal Processing 期刊论文《Sparse Sensing with Co-Prime Samplers and Arrays》研究报告

作者及机构
本研究的通讯作者为加州理工学院（California Institute of Technology）电气工程系的Palghat P. Vaidyanathan（IEEE Fellow）和其学生Piya Pal（IEEE学生会员）。论文发表于2011年2月的《IEEE Transactions on Signal Processing》第59卷第2期。

学术背景

本研究属于信号处理领域的稀疏采样（Sparse Sensing）与传感器阵列设计方向，重点关注互质采样器（Co-Prime Samplers）和阵列的理论与应用。传统均匀采样方法在高分辨率场景下需密集采样，导致硬件成本高、计算复杂度大。因此，作者提出利用互质稀疏采样器（即采样间隔为互质数的稀疏采样对）的数学特性，通过非均匀采样获取高分辨率信号处理能力，目标包括：
1. 空间信号处理：通过互质阵列实现高自由度波束成形（Beamforming）和到达角估计（Direction of Arrival, DOA）。
2. 时域信号处理：利用时间域互质稀疏采样估计信号自相关函数（Autocorrelation）和功率谱（Power Spectrum），突破奈奎斯特采样率限制。

理论基础包括互质数性质（Chinese Remainder Theorem, CRT）、差分共阵列（Difference Co-Array）和嵌套阵列（Nested Arrays）等概念。

研究流程与方法

1. 互质阵列设计与差分共阵列（Section II-IV）

• 研究对象：由两个均匀线性阵列（ULA）组成的互质阵列，阵列1包含*M*个传感器，间距为*Nd*；阵列2包含*N*个传感器，间距为*Md*（*M*和*N*为互质整数，*d*为半波长）。
  
• 关键方法：通过交叉差分（Cross-Differences）生成差分共阵列，其自由度（Degrees of Freedom）可达*MN*，远超物理传感器数量（*M+N-1*）。例如*M=4*、*N=3*时，差分共阵列覆盖17个自由度（包含负滞后）。
  
• 创新点：提出DFT滤波器组（Section III-C）结合互质阵列输出的方法，将*M*点与*N*点DFT滤波器组联合，等效生成*MN*个窄带波束，分辨率提升至*2π/(MN)*。
  

2. 时域互质稀疏采样与自相关估计（Section V-VI）

• 研究对象：宽平稳（WSS）随机信号，通过两组采样间隔为*MT*和*NT*（*M*、*N*互质）的稀疏采样器获取非均匀样本。
  
• 关键方法：利用样本乘积的平均值估计自相关函数*R(τ)*，可覆盖滞后*τ = kT*（*k*为整数），即使原始采样间隔*MT*和*NT*远大于*T*。
  
• 实验验证：通过时域MUSIC算法（Section VI-B）从稀疏样本中检测噪声中的正弦信号频率。例如*M=11*、*N=13*时，仅需23%的Nyquist采样率即可识别25个正弦分量（SNR=0 dB）。
  

3. 互质DFT滤波器组与频谱估计（Section VII）

• 算法设计：结合*M*点和*N*点DFT滤波器组的输出，生成*MN*个窄带滤波器，分辨率由*2π/M*或*2π/N*提升至*2π/(MN)*。
  
• 硬件效率：通过多相分解（Polyphase Decomposition）降低计算复杂度（图14）。
  

主要结果

1. 高分辨率波束成形（Section III）：

   • 仿真显示*M=5*、*N=6*时，30个等效窄带波束可分辨频率间隔为5°的目标（传统ULA需30个传感器，而互质阵列仅需11个）。
     
   • 主动与被动波束成形的性能对比表明，互质阵列能有效抑制旁瓣（图4-5）。
     

2. 稀疏采样自相关估计（Section VI）：

   • 理论证明自相关可在滞后*τ = kT*处无偏差估计，支持功率谱分析（图12）。
     
   • 相比嵌套阵列（Nested Arrays），互质采样的自由度稍低，但传感器间距更大，减少互耦效应。
     

3. 频谱估计优势（Section VII）：

   • 实验验证*M=4*、*N=3*时，12个等效窄带滤波器可分离频率差为15°的信号（传统方法需18点DFT）。
     

结论与价值

本研究通过互质稀疏采样器实现了以下突破：
1. 理论价值：提出基于互质数的稀疏采样框架，为高分辨率信号处理提供数学基础，扩展了共阵列理论的应用范围。
2. 应用价值：
- 雷达与通信：降低硬件复杂度，适用于MIMO雷达和DOA估计。
- 频谱感知：在低于Nyquist采样率下实现高精度频谱分析。
3. 方法创新：首次将互质DFT滤波器组与稀疏采样结合，解决了传统方法中自由度与分辨率的矛盾。

研究亮点

1. 数学工具创新：利用互质性（Co-Primeness）将稀疏采样问题转化为数论问题，突破采样率限制。
   
2. 硬件友好性：传感器间距更大（*Md*或*Nd*），减轻阵列互耦问题。
   
3. 跨领域应用：成果可推广至空间感知（如雷达）、时频分析（如频谱监测）和系统辨识（如线性系统识别）。
   

其他价值

论文对比了互质阵列与嵌套阵列的优劣（Section IV），并指出互质方法在计算效率和抗噪性能上的优势（Section VI-C）。例如，基于统计平均的互质采样法比传统CRT方法更鲁棒，适用于非确定性信号分析。