本研究由 Costas Emmanuel Synolakis 完成，作者隶属于 University of Southern California 的 School of Engineering。该论文发表于 *Journal of Fluid Mechanics*，1987 年第 185 卷，页码 523–545，标题为 *The runup of solitary waves*（孤立波的爬高）。论文属于类型 a，即单一原创性研究，以下按照学术报告方式介绍。

本研究的学术背景属于流体力学与海岸工程领域，重点关注海啸（tsunami）在近岸的爬高过程。海啸通常由海底或海岸线的脉冲式地球物理事件激发，其波浪具有长波、小陡度的特征，而孤立波（solitary wave）被认为是模拟海啸近岸效应的重要波形。虽然长波的生成和传播过程已有较为成熟的理解，但长波的爬高（runup）与反射（reflection）过程仍存在较大不确定性。已有解析研究主要分为两类：一类基于 Boussinesq 方程，另一类基于浅水波方程（shallow-water-wave equations）。尽管已有若干数值解和实验室研究，但关于波浪高度与最大爬高之间的经验关系仍缺乏解析解释，且对破碎波与非破碎波在爬高行为上的差异认识不足。本文的目标是提出一种近似理论，推导孤立波在平面海滩上的最大爬高渐近结果，并通过系统的实验室实验加以验证，同时解析破碎与非破碎波之间的不同爬高机制。

本研究的详细工作流程如下。为了解析孤立波在平面斜坡海滩上的爬高，作者首先建立了由线性理论到非线性理论逐层推进的数学框架。地形由公式 (2.1a) 和 (2.1b) 描述，其中水深在斜坡段随 x tan β 线性变化，在远离海滩处为常数。浅水波方程由 (2.2a) 和 (2.2b) 给出，分别表示质量守恒和动量守恒。在线性理论中，方程 (2.3) 被线性化，常数水深区域的解由 (2.4a) 给出，斜坡上的解由 (2.4b) 给出，后者以 Bessel 函数 J₀ 表示。Keller 和 Keller（1964）已给出了反射波幅值和放大系数的形式，但本文进一步利用 Fourier 变换和 Hankel 变换处理更一般波形。对于非线性理论，作者采用 Carrier 与 Greenspan（1958）提出的 hodograph 变换（公式 2.7a–2.7d），将浅水波方程组化为单一线性方程 (2.8)，并在 (σ, λ) 空间中求解。为了从物理空间过渡到 hodograph 空间，作者提出了一个近似方法：在远离海岸线的位置，忽略 O(u²) 项，从而得到简化的变换方程组 (2.10)，进一步利用线性理论解 (2.6) 通过 Fourier 积分确定边界条件，并推导出解 (2.11)。非线性理论解由 (3.8a–3.8d) 给出，其中包含对 Bessel 函数比值的围道积分求值。作者还证明了一个重要结论，即线性理论与非线性理论在最大爬高和最小回落值上具有不变性（runup invariance），该结论通过公式 (2.12) 与 (2.13) 在岸边速度为零的条件下得到验证。接下来，作者以孤立波剖面 (3.1) 及其 Fourier 变换 (3.2) 为初始条件，推导出最大爬高的渐近公式 (3.7)：*R/d = 2.831 (cot β)^(¹⁄₂) (H/d)^(⁵⁄₄)*，该公式被称为“runup law”。该公式的推导依赖于对围道积分的极点留数求和，并在附录中详细给出计算步骤。在实验方面，作者在 California Institute of Technology 的 W. M. Keck Laboratories 的 40 m 波浪水槽中进行了一系列实验。实验水槽长 37.73 m，宽 0.61 m，深 0.39 m，使用液压伺服控制的推板式造波机，并通过 PDP ¹¹⁄₂₃ 微处理器生成活塞运动轨迹。为了测量近岸及干滩上的波浪高度，作者开发了一种新型电容式浪高仪，称为 runup gauge，该仪器由多个安装在铝框架上的电容探针组成，可沿斜坡移动并在不同位置标定，能够测量距离初始岸线极近甚至干床上的水面变化。动态测试表明其输出与传统的平行丝电阻式浪高仪在可比较区域内一致，与电影摄影数据的差异小于 3%。实验中水深范围为 6.25 cm 至 38.32 cm，对应的 H/d 从 0.005 到 0.633。最大爬高 R/d 与 H/d 的数据列于表 1。

研究的主要结果如下。最大爬高实验显示，对于在 1:19.85 的实验室海滩上非破碎孤立波，公式 (3.7) 给出的理论值与实验数据吻合良好（图 3）。破碎波与非破碎波表现出明显不同的爬高规律。对于破碎波，基于平均岸线位置的拟合关系为 *R/d = 0.918 (H/d)^(0.682)*，基于最大岸线位置的关系为 *R/d = 1.109 (H/d)^(0.682)*。在实验海滩上，当 H/d > 0.044 时首先在回落（backwash）阶段发生破碎；当 H/d > 0.055 时在爬高阶段即发生破碎。通过理论推导，作者还得到了两个不同的破碎判据。基于 Carrier–Greenspan 变换 Jacobian 在 σ → 0 时奇异性分析，作者推导出爬高破碎判据：*H/d = 0.8183 (cot β)^(-¹⁰⁄₉)*，而 Gjevik 与 Pedersen（1981）给出的回落破碎判据为 *H/d = 0.479 (cot β)^(-²⁄₃)*。两者的差别在于前者描述波浪在爬升时首次破碎，后者描述波浪在回落时首次破碎。该差异也解释了为何同一波浪在爬高阶段未破碎但在回落阶段可能破碎。此外，表面剖面数据（图 5、图 6）表明，在远离岸线的位置，线性理论与非线性理论预测几乎无差异，但在距初始岸线 0.25 水深附近，线性理论明显高估波高，而非线性理论与实验数据吻合较好。该结论支持 Carrier（1966）关于远离岸线非线性效应较小的假设。对于 H/d = 0.040 的波浪（图 8、图 9），非线性理论的 Jacobian 在爬高阶段某一时刻变为零，理论上波浪应卷曲破碎，但实验室中同波并未表现出卷曲破碎。然而理论解在 Jacobian 奇点之后仍然保持连续、有界且稳定，并与实验数据在破碎前后均有较好的一致性。作者认为，这说明在奇点之后的解不再对应原边值问题，而是对新的边值问题的有效解，即解对破碎时刻的剖面细节不敏感，类似于 Whitham 涌潮规则所描述的现象。

本研究的结论主要有四点：第一，线性理论与非线性理论均预测非破碎孤立波的最大爬高由公式 (3.7) 描述；第二，破碎波与非破碎波的爬高规律不同，二者不能合并拟合；第三，非线性理论可以较好地模拟非破碎孤立波的爬升过程；第四，对于给定 H/d 的孤立波，爬高破碎与回落破碎应使用不同判据。该研究的科学价值在于首次从理论上证明最大爬高在线性与非线性理论中的一致性，澄清了此前关于两种理论优劣的争议。其应用价值体现在为海啸近岸爬高与淹没预测提供了解析公式，为数值模型的验证提供了可靠的实验数据。此外，作者开发的 runup gauge 使得在干滩和极浅水深条件下精确测量波浪成为可能，具有实验方法上的创新性。研究的亮点还包括对不同破碎判据的清晰区分，以及揭示理论解在 Jacobian 奇点后仍与实验吻合的非直观现象。这些结果为理解孤立波爬高过程与破碎机制提供了重要基础。