第十章 水平磁偶极子位于层状介质表面上方

本文内容选自专著《表面地球物理中的电磁法原理》（Methods in Geochemistry and Geophysics, Volume 45），由 Elsevier B.V. 于 2014 年出版，作者为 A. A. Kaufman。本章系统阐述了水平磁偶极子（horizontal magnetic dipole）在地球表面上方激发电磁场时的边值问题（boundary value problem）建立、矢量势（vector potential）求解、场分量推导以及低频近似下的几何因子（geometric factor）理论。

本章的研究背景建立在此前垂直磁偶极子（vertical magnetic dipole）理论的基础之上。与垂直磁偶极子产生的场不同，水平磁偶极子的初级电场位于垂直平面内，其电场线会与地球表面相交，因此在地表必然产生感应电荷（surface charges）。这意味着水平磁偶极子激发的电磁场同时由感应电流（induction currents）和表面电荷共同决定，场的几何结构远比垂直磁偶极子情形复杂。为了处理这一问题，作者采用电型矢量势（vector potential of the electric type）A，并同时引入其水平分量 (A_x) 和垂直分量 (A_z)，假设 (A_y=0)。在规则点处，各分量均满足亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）。为使切向电场和磁场分量在各界面上连续，作者将边界条件分为两组：第一组仅涉及 (A_x)，第二组涉及 (A_z) 及矢量势的散度。这一分离极大地简化了求解过程，使得 (A_x) 可以独立确定。

在求解 (A_x) 的过程中，作者给出了每层介质中 (A_x) 的积分表达式，并利用各界面上的边界条件建立线性方程组。求解结果显示，在导电介质内部（(z>h_1)），水平分量 (A_x) 恒等于零。由此得到一个重要物理结论：在地表以下的导电介质中，电场的垂直分量 (E_z) 处处为零。尽管初级电场本身具有垂直分量，但地表感应电荷产生的次级电场垂直分量恰好与初级场垂直分量在导电介质内部逐点相消，导致总电场的垂直分量为零。根据欧姆定律（Ohm’s law），感应电流因此只分布在水平平面内。这一结果具有非直观性，揭示了地表电荷分布的“巧妙”性质。

与此相对，在地表以上的空气中，(A_x) 不为零，且由两部分组成：一部分来自偶极子本身的初级场，另一部分等效为位于镜像位置的偶极子产生的场。由此可计算地表以上的电场垂直分量，并进一步得到地表电荷面密度 (\sigma)。该电荷密度与初级电场的几何分布密切相关：在 (y>0) 和 (y) 的区域出现异号电荷，且电荷密度随离偶极子距离的增加迅速衰减；在 x 轴附近，由于初级电场为零，不存在电荷；在地下各层界面上也不存在表面电荷。

在确定 (A_x) 之后，作者转入垂直分量 (A_z) 的求解。由于导电介质内 (A_x=0)，矢量势的散度仅由 (A_z) 对 z 的导数决定，因此界面条件得到简化。(A_z) 的积分表达式中包含贝塞尔函数 (J_1(mr)) 以及与方位角相关的余弦因子 (\cos\phi)，这与 (A_x) 的表达形式在坐标依赖上有显著差异。通过对三层介质模型的边界条件进行代数消元，作者得到了地表以上 (A_z) 的未知系数 (f_0) 的第一种表达式，其中包含一个表征层状介质电磁响应的函数 (p_3)。随后又给出了适用于 n 层介质的递推形式，其中引用了与垂直磁偶极子理论中相同的层状介质函数 (r_n)。

本章进一步推导了水平磁偶极子在地表产生的水平磁场分量 (B_x)，并重点讨论了赤道装置（equatorial configuration，(\phi=\pi/2)）的情形。当偶极子和接收器均位于地表时，(B_x) 的表达式可写为初等项与含贝塞尔函数积分项的组合。在低频近似下，即收发距远小于各层趋肤深度（skin depth）时，作者对积分中的层状介质函数进行了渐近展开，最终得到正交分量（quadrature component）的解析表达式。该表达式表明，低频正交分量可以被分解为各层电导率与其对应几何因子乘积的线性叠加。对于三层介质，几何因子 (G_1)、(G_2)、(G_3) 分别对应于上覆层、中间层和下伏半空间，且三者之和等于 1。中间层的几何因子 (G_2) 具有明确物理意义，其形态随层厚与埋深的变化而变化。作者指出，虽然水平磁偶极子激发的感应电流分布与垂直磁偶极子情况不同，但由于地表以下不存在表面电荷，且低频正交分量中感应电流之间的相互作用可以忽略，因此几何因子的概念仍然适用。这一结果可推广至 n 层介质，用于电磁剖面法（electromagnetic profiling）中不同收发距条件下的资料解释。

作者还提出了一种改进的渐近表达式。通过假设下伏介质中的趋肤效应（skin effect）与具有相同电导率的均匀半空间一致，可以将 n 层介质的响应表示为上部各层几何因子与下伏半空间电导率之差的线性组合，再加上均匀半空间场的贡献。这一改进形式在一定程度上考虑了趋肤效应的影响，能够将正交分量的适用范围扩展到更高频率，同时表明二次场的同相分量（in-phase component）主要由下伏介质的电导率决定，上层介质在该分量中表现为“透明”，从而体现了同相分量反映深部扩散特征的性质。

本章的核心价值在于建立了一套完整的水平磁偶极子层状介质电磁响应的理论框架。通过将矢量势分解为水平分量和垂直分量，并利用边界条件的解耦特性，作者以清晰的数学结构解决了水平磁偶极子场的复杂边值问题。所揭示的导电介质内部 (E_z=0) 这一结论具有重要物理意义，深化了对地表感应电荷与感应电流联合作用机制的理解。低频几何因子理论的建立为水平磁偶极子电磁剖面法的定量解释提供了实用工具，使该方法的资料处理与垂直磁偶极子方法在概念上保持一致，尽管二者的场源激发机制存在本质差异。本章最后列出的参考文献指向 Kaufman 1994 年出版的《Geophysical Field Theory and Methods, Part C》，为读者提供了进一步研究电磁场理论和方法的入口。