Kane S. Yee 来自美国劳伦斯辐射实验室（Lawrence Radiation Lab., University of California）的研究团队在1966年5月的《IEEE Transactions on Antennas and Propagation》（卷AP-14，第3期）发表了一项关于数值求解麦克斯韦方程组的开创性研究。这项研究聚焦于各向同性介质中电磁场初始边界值问题的数值解法，其核心贡献是提出了一种适用于完美导体边界条件的有限差分方法（Finite Difference Method, FDM），并通过二维TM波（横磁波，Transverse Magnetic Wave）的散射问题验证了该方法的有效性。

学术背景

电磁场问题的解析解通常仅存在于少数理想化场景中，而实际工程问题（如复杂边界条件下的散射）往往依赖数值方法。传统方法难以处理时变电磁场与复杂边界（如完美导体）的耦合问题。Yee的研究旨在填补这一空白，通过离散化麦克斯韦方程组，构建一种既能满足边界条件又能保持计算稳定性的数值框架。研究背景基于以下关键点：
1. 理论瓶颈：时变麦克斯韦方程组的通解形式未知，边界条件引入的复杂性进一步限制了解析求解的可能性。
2. 工程需求：雷达散射、天线设计等领域需高效模拟电磁波与导体的相互作用，但当时计算机内存限制制约了大规模问题的求解。
3. 方法创新：Yee提出将场分量在空间网格上交错采样（后称“Yee网格”），以自然满足导体边界条件，同时通过时间步进法实现动态场演化。

研究流程与方法

1. 麦克斯韦方程组的离散化

研究首先将麦克斯韦方程组在直角坐标系中展开为6个标量方程（如(2a)-(2f)），并引入空间-时间离散网格：
- 空间离散：场点坐标定义为 ((i\Delta x, j\Delta y, k\Delta z))，其中 (\Delta x = \Delta y = \Delta z) 以确保各向同性。
- 时间离散：时间步长 (\Delta t) 需满足稳定性条件 (c{\text{max}} \Delta t \leq \Delta x / \sqrt{3})（(c{\text{max}}) 为介质中最大光速）。

关键创新：电场分量（(E_x, E_y, E_z)）与磁场分量（(H_x, H_y, H_z)）在网格中交错布置（图1），电场位于棱边中点，磁场位于面心。这种布局天然满足导体表面切向电场为零的边界条件。

2. 二维TM波的有限差分方程

为验证方法，研究聚焦于二维TM波（(E_z, H_x, H_y) 非零）的散射问题，简化方程为：
- (\frac{\partial E_z}{\partial t} = \frac{1}{\epsilon} \left( \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} \right))
- (\frac{\partial H_x}{\partial t} = -\frac{1}{\mu} \frac{\partial E_z}{\partial y})
- (\frac{\partial H_y}{\partial t} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial E_z}{\partial x})

离散后的差分方程（如(14a)-(14c)）通过时间迭代求解，初始场由入射平面波（半正弦脉冲）设定。

3. 数值实验设计

• 障碍物模型：完美导体正方形（边长 (a)），网格分辨率设为 (a/32)，时间步长 (\Delta t = a/16c)。
  
• 边界处理：导体表面强制 (E_z = 0)，计算区域外设人工边界以限制内存消耗。
  

主要结果

1. 无障碍验证：纯入射波传播95个时间周期后，脉冲展宽与振荡误差可控（图3），证明差分格式的鲁棒性。
   
2. 散射场分析：
   
   • 近场反射（图4，(j=30)）：障碍物附近出现反相位反射波，幅值约为入射波的50%，符合边界条件理论。
     
   • 边界场分布（图5-6）：导体边缘（(j=65)）的 (E_z) 强制为零，两侧形成透射波与部分反射波，且随时间推移出现多次边界反射效应。
     
3. 与楔形衍射理论的对比：将正方形角点等效为楔形（张角 (3\pi/2)），基于Friedlander解析解的计算结果（图7）与数值解高度吻合，验证了方法的准确性。
   

结论与价值

1. 方法论贡献：Yee网格首次系统解决了导体边界条件下时变电磁场的数值稳定性问题，为后续FDTD（时域有限差分法）奠定了基础。
   
2. 工程意义：研究表明，即使障碍物尺寸达数个波长，该方法仍可在有限计算资源下实现有效模拟，推动了雷达隐身、天线设计的数值优化。
   
3. 理论扩展性：文中提到的各向异性介质（如磁离子介质）边界条件处理，为后续复杂媒质模拟提供了思路。
   

研究亮点

1. Yee网格的原创性：场分量交错采样不仅简化了边界条件实施，还避免了数值色散问题。
   
2. 计算效率：通过二维TM波案例证明，该方法在早期计算机（如1960年代）上即可处理中等规模问题。
   
3. 跨领域验证：与楔形衍射解析解的对比，凸显了数值方法的物理一致性。
   

此研究堪称计算电磁学里程碑，其网格设计至今仍是FDTD算法的核心框架。