诺特定理（Noether’s theorem）作为物理学的基本定律之一，深刻地联系着连续对称性与守恒流。一篇题为“Role of Noether’s theorem at the deconfined quantum critical point”的研究论文，对诺特定理在一个超越朗道-金兹堡-威尔逊（Landau-Ginzburg-Wilson）范式的奇异量子相变——解禁闭量子临界点（Deconfined Quantum Critical Point, DQCP）中的作用进行了探索。该研究由Nvsen Ma（马诺森，通讯作者之一）、Yi-Zhuang You（游一壮）和Zi Yang Meng（孟子杨）等人合作完成，参与单位包括中国科学院物理研究所北京凝聚态物理国家实验室、美国加州大学圣地亚哥分校、哈佛大学、香港大学、中国科学院大学、松山湖材料实验室等。这项研究于2019年5月3日发表在物理学顶级期刊《物理评论快报》（Physical Review Letters）上，论文编号DOI: 10.1103/physrevlett.122.175701。
这项研究属于凝聚态物理，特别是量子多体系统和量子相变领域。研究的核心动机源于对解禁闭量子临界点这一新颖物理概念的深入理解需求。DQCP描述的是两个自发破缺完全不同对称性的相之间的直接连续量子相变，它超出了传统的基于序参量和对称性破缺的朗道理论框架。先前理论研究预测，在DQCP的低能标度下，可能会出现比微观模型更大的连续对称性，即涌现对称性（emergent symmetry）。如果这种更大的连续对称性（例如O(4)对称性）确实存在，根据诺特定理，就必须存在与之对应的守恒流。然而，这种与涌现对称性直接关联的守恒流此前并未在数值模拟中得到直接观测和验证。因此，本研究旨在通过大规模量子蒙特卡洛（Quantum Monte Carlo, QMC）模拟，直接探测与可能涌现的O(4)对称性相关的诺特守恒流，从而为DQCP的涌现对称性提供关键的、基于守恒律的直接证据。研究的目标是发展一种优雅而实用的方法，通过探测自旋激发谱来识别量子相变中的涌现连续对称性。
研究的详细工作流程基于理论分析与大规模数值计算的紧密结合，主要包含以下几个关键步骤：
首先，是理论模型的建立与对应关系的识别。研究聚焦于一种被称为“易平面”（easy-plane）DQCP的具体实例。该DQCP存在于一个二维正方晶格的自旋-1/2模型（易平面J-Q模型，EPJQ模型）中，调控参数q的变化可以实现反铁磁XY（AFxy）有序相和柱状价键固体（VBS）相之间的直接量子相变。AFxy相破坏面内的U(1)自旋旋转对称性，而VBS相破坏Z4晶格旋转对称性。在临界点，理论上预期微观的U(1)×Z4对称性得以恢复，并且低能临界涨落可能展现出更大的O(4)涌现对称性，该对称性将AFxy序参量 (n_x, n_y) 和VBS序参量 (d_x, d_y) 统一为一个四分量向量进行整体旋转。O(4)群的连续子群SO(4)有六个生成元，对应六组守恒流J^{ab}_μ。研究的核心挑战在于，如何在晶格模型中识别和测量这些理论上预言的守恒流算符。通过场论分析，研究者成功地将SO(4)守恒流的特定分量与模型在特定动量点的自旋算符涨落联系起来。具体而言，他们识别出五个可以通过自旋激发谱测量的守恒流分量。其中，四个（如与s^x(π,0)涨落对应的J^{23}_2）对应于AFxy序与VBS序之间的旋转对称性，这是涌现O(4)对称性最关键的部分；另一个（与s^z(0,0)涨落对应的J^{34}_0）则对应于微观的U(1)对称性。这一理论映射是本研究的基石，它将抽象的守恒流算符与数值模拟中可直接测量的自旋-自旋关联函数联系了起来。
其次，是数值模拟与数据采集。研究采用大规模、无符号问题的量子蒙特卡洛方法对EPJQ模型在临界点附近进行模拟。他们模拟了不同尺寸（L = 16, 32, 48, 64, 96）的方形晶格系统，以保证能够进行可靠的有限尺寸标度分析。在模拟中，他们直接测量了在特定动量点（如(π,0)和(0,0)附近）的自旋算符的虚时关联函数g^a_q(τ, q)。这些关联函数包含了系统低能激发的关键信息。对于与涌现对称性相关的s^x(π,0)通道和与微观对称性相关的s^z(0,0)通道，研究者采集了详细的虚时演化数据。数值计算在国家级超算中心完成，保证了大规模系统模拟的可行性。
第三，是数据分析与标度维数提取。这是验证守恒流是否守恒的核心环节。根据诺特定理，一个守恒流算符J_μ的标度维数（scaling dimension）必须精确等于时空维度（在本研究的(2+1)维体系中为2），这意味着其关联函数具有特定的幂律形式，且其“反常维数”（anomalous dimension）η应为零。η非零则意味着流不守恒。基于之前的理论映射，自旋-自旋关联函数的低能行为与守恒流-流关联函数直接相关。研究者从场论推导出，在守恒流假设下，测得的自旋关联函数g(τ, q)应当符合一个包含贝塞尔函数Kα的特定解析形式，其中指数α与反常维数η有关。具体拟合公式为g^x(π,0)(τ, q) ∝ … 和 g^z(0,0)(τ, q) ∝ … ，其中η^x(π,0)和η^z(0,0)即为待拟合的反常维数。研究者在拟合数值数据时，将η作为自由参数，通过最小二乘法拟合不同系统尺寸下自旋关联函数的虚时曲线。为了排除高能激发的影响，他们动态地选择了合适的短时截断作为拟合起始点，以确保拟合优度χ²/自由度接近1。通过这一步骤，他们从有限尺寸的数据中提取出了η^x(π,0)(L)和η^z_(0,0)(L)的估计值。
第四，是有限尺寸外推与守恒性验证。得到有限尺寸下的反常维数后，研究者将这些值对系统尺寸L进行外推，以获取热力学极限下的结果。数值结果显示，随着系统尺寸从L=16增大到L=96，两个通道的反常维数都清晰地趋于零。外推得到的热力学极限值为η^x(π,0) = 0.002(9)和η^z(0,0) = 0.004(6)，误差棒内与零完全一致。这强有力地表明，对应的流算符J^{23}_2和J^{34}_0的标度维数均为2，即它们都是守恒的。其中J^{34}_0的守恒是微观U(1)对称性的必然结果，可视为对方法正确性的检验；而J^{23}_2的守恒则是一个非平凡的重大发现，因为它直接证实了在DQCP低能理论中存在一个微观模型所没有的、连接AFxy序和VBS序的连续旋转对称性，从而为涌现的O(4)对称性提供了最直接的证据。
本研究所获得的主要结果清晰而有力。首先，理论映射成功地将抽象的SO(4)守恒流分量与可观测的自旋涨落对应起来，这为数值探测奠定了基础。其次，大规模QMC模拟获得了高质量的自旋-自旋关联函数数据，其虚时依赖关系能够被基于守恒流假设的理论曲线完美拟合。第三，也是最重要的结果，拟合提取的反常维数经过有限尺寸标度分析后，在热力学极限下收敛于零。具体数据表现为：对于s^x(π,0)通道（对应涌现对称性流J^{23}2），η^x(π,0)从L=32时的约0.02逐渐下降，至L=96时已接近零，外推值为0.002(9)；对于s^z(0,0)通道（对应微观对称性流J^{34}0），η^z(0,0)同样表现出收敛于零的趋势，外推值为0.004(6)。这些数据以极高的精度支持了这两个流是守恒的。涌现流J^{23}_2的守恒性，意味着在临界点，系统低能行为确实尊重一个将自旋和价键自由度混合旋转的连续对称性，这正是O(4)涌现对称性的核心特征。这一结果从守恒律的角度，独立地验证了先前通过比较序参量临界指数、绘制序参量直方图等方法所推测的涌现对称性。
研究的结论是，通过将诺特定理与大规模量子蒙特卡洛模拟相结合，该工作首次直接探测并证实了在易平面解禁闭量子临界点存在与涌现O(4)对称性相对应的诺特守恒流。这不仅为DQCP的涌现对称性提供了强有力的支持证据，更重要的是，它展示了一种探测和识别量子多体系统中涌现连续对称性的崭新而优雅的方法。该方法通过直接测量守恒流的标度行为（要求反常维数为零），只需确定单个指数，避免了传统方法中需要比较多个不同序参量临界指数的复杂性，因而在数值上更简洁、理论上更根本。
这项研究具有重要的科学价值和应用前景。在科学价值层面，它将物理学的基本原理——诺特定理，应用于当前凝聚态物理前沿最活跃的领域之一（超越朗道范式的量子相变），架起了基础理论与复杂量子多体现象之间的桥梁。研究证实了在强关联系统中可能出现超越微观模型的宏大对称性，深化了人们对涌现现象的理解。在方法论上，它开发了一种基于守恒流探测来识别涌现对称性的普适性数值工具，这种方法不仅适用于DQCP，也有望应用于阻挫磁体、相互作用的拓扑相、量子电动力学系统等其他可能存在涌现连续对称性的新奇量子物态研究中。在应用价值层面，该研究为在真实量子磁体材料（如Shastry-Sutherland lattice compound SrCu2(BO3)2）中通过光谱学实验（如中子散射）寻找DQCP提供了明确的指导。研究者指出，可以通过探测特定动量（如(π,0)）的自旋激发是否表现出无反常维数的标度行为，来作为实验中鉴定DQCP和其涌现对称性的“指纹”。
本研究的亮点突出。首先，重要的发现：直接证实了DQCP处涌现守恒流的存在，为涌现O(4)对称性提供了基于诺特定理的、“第一性原理”式的坚实证据。其次，方法的创新性与优雅性：创造性地将诺特定理与大规模数值计算结合，通过测量流算符的标度维数（要求为整数2）来探测对称性，该方法概念清晰、判断标准明确（η=0），是识别涌现连续对称性的有力新工具。第三，研究对象的特殊性：聚焦于超越传统理论的解禁闭量子临界点这一前沿课题，对其核心特征——涌现对称性进行了深入细致的检验。最后，文章末尾也对研究结果的细微之处进行了讨论，指出尽管涌现对称性得到支持，但有限尺寸下外推的序参量平方期望值虽小却未完全为零，因此目前仍不能完全排除这是一个对称性增强的弱一级相变的可能性（即赝临界性），这为未来更深入的研究留下了开放性问题。
这项由Ma, You, Meng等人完成的工作，是理论物理深刻原理与尖端计算物理技术成功结合的典范。它不仅推进了对解禁闭量子临界点这一具体物理问题的认识，更开辟了一条利用守恒定律来探测和理解量子物质新奇 emergent phenomena 的通用途径，对凝聚态物理和量子多体理论的发展具有重要启发意义。