作者及发表信息：

本研究由来自加拿大阿尔伯塔大学物理系和地球与大气科学系的 Bruce R. Sutherland，以及美国普林斯顿大学大气与海洋科学系的 Houssam Yassin 共同完成。该研究以论文“The nonlinear evolution of internal tides. Part 2. Lagrangian transport by periodic and modulated waves”的形式，发表于流体力学领域顶级期刊 *Journal of Fluid Mechanics*，于2022年正式出版（Volume 948, A22）。

学术背景与研究目的：

本研究的科学领域为物理海洋学和流体力学，具体聚焦于内潮汐（Internal Tides）的非线性演化及其引发的拉格朗日输运（Lagrangian Transport）问题。内潮汐是海洋中由浮力恢复力驱动的内部波动，在海洋能量传递、混合和物质输送中扮演关键角色。早期研究通常假设背景层结均匀且忽略地球背景旋转（科里奥利力）的影响。然而，实际海洋层结非均匀，且旋转效应在大多数海域不可忽略。

在研究的第一部分（由 Sutherland 和 Dhaliwal 发表的姊妹篇）中，作者们已经证明，一个模态-1的母内潮波（parent internal tide）可以通过自相互作用激发出一系列高阶超谐波（superharmonics）。这些超谐波会叠加，最终可能使内潮演化为一个孤立子波列。尽管波形发生了剧烈非线性转变，本研究的核心问题是：这些波（母波及其激发的超谐波）所导致的整体平均质量输送——即斯托克斯漂移（Stokes Drift）和诱导的欧拉流（Induced Eulerian Flow）——如何演化？其垂直结构如何？特别是在考虑非均匀层结和不同纬度（即不同科里奥利参数 f）的情况下。

因此，本研究旨在建立一套理论框架，用以描述由非线性演化的模态-1内潮（特别是其超谐波）所产生的拉格朗日输运。研究目标包括：1）推导斯托克斯漂移和诱导欧拉流的相对简单表达式；2）阐明背景旋转（f ≠ 0）和零旋转（f = 0）情形下拉格朗日输运的物理机制与时间演化特征；3）通过全非线性数值模拟验证理论预测。这项研究有助于更准确地评估内潮对瞬时海洋物质输送的贡献，特别是其在不同深度和时间尺度上的影响。

详细工作流程：

本研究采用理论与数值模拟相结合的研究范式，主要流程包括理论推导和数值验证两个核心部分。

第一流程：理论框架构建。 1. 研究设定： 研究考虑一个二维（沿波传播方向和垂直方向）的、不可压、无粘性、非扩散的布西内斯克流体，在f-平面上运动。流体被限制在具有自由滑移条件的上下边界之间。背景层结是非均匀的，采用基于夏威夷附近“远场”观测的指数型层结：N²(z) = N₀² exp[(z - z₀)/d]。 2. 波动表达： 将流场表达为一个母波（水平波数为k）及其所有可能超谐波（波数为nk， n为整数）的叠加。每个波分量的流函数（stream function）写为振幅与垂直结构函数的乘积，并考虑了振幅在空间上的慢变调制（波包）和在时间上的慢变演化。 3. 理论推导的核心步骤： * 斯托克斯漂移： 基于经典的拉格朗日平均方法，利用O(α²)阶展开，作者推导出单个波分量（第n个超谐波）产生的斯托克斯漂移表达式。研究的关键发现在于，尽管单个超谐波的振幅随时间变化，但由于非线性演化过程中，母波与所有超谐波的振幅平方和近似守恒，因此所有波分量贡献的总斯托克斯漂移在时间上是近似恒定的。这一结论大大简化了分析。在“长波近似”（即波长远大于水深）下，总斯托克斯漂移被表达为一个与时间无关的、具有特定垂直结构的函数。该结构是模态-1和模态-2垂直结构的混合。 * 诱导欧拉流： 这是本研究的关键创新和复杂之处。作者分析了控制方程(2.8)中由非线性项∇·f产生的平均强迫。该强迫项来自母波与自身（及其超谐波）的相互作用。研究的核心洞见是：尽管波形（如孤立子）在剧烈变化，但母波和所有超谐波对诱导欧拉流的集体强迫在时间上也是近似恒定的。 * 分情形推导诱导欧拉流响应： * 情形A：f ≠ 0（非赤道海域）： 此时，主导的强迫项是O(ε⁰σ⁰)阶，这意味着即使对于水平周期性的波（非波包），诱导欧拉流也会被显著激发。在长波近似下，作者推导出诱导欧拉流振幅a_j(t)的时间演化方程(2.36)，这是一个受迫振荡方程，其解表现为以惯性频率f振荡的形式(2.38)。理论进一步揭示，在长波近似和f ≪ N的假设下，诱导欧拉流的垂直结构系数e_{j,f}与斯托克斯漂移的系数s_j大小相等、符号相反（见附录B证明）。这导致了一个简洁而重要的关系：u_e ≈ -u_s (1 - cos(ft))。即诱导欧拉流与斯托克斯漂移反相，并进行惯性振荡，其最大幅度可达斯托克斯漂移的两倍。 * 情形B：f = 0（赤道附近）： 此时，对于水平周期性的波，诱导欧拉流的强迫非常微弱，与斯托克斯漂移相比可以忽略。这是与先前关于稳态诱导流研究的一个关键区别。然而，对于水平调制的波包（即振幅在空间上有包络），情况则完全不同。此时，主导强迫项是O(σ²)阶，诱导欧拉流变得显著。作者推导出其振幅a_j(x, t)的演化方程(2.29)，其解(2.31)显示，每个垂直模态j的诱导流振幅随时间t线性增长，且其传播速度由系数γ_j决定，不同垂直模态的γ_j不同。这导致了不同垂直模态的诱导流分量以不同速度水平传播，从而使诱导欧拉流在空间和时间上形成复杂的演变结构。

第二流程：全非线性数值模拟验证。 1. 模拟对象与设置： 研究团队使用自行开发的数值模型，直接求解二维旋转布西内斯克方程。模拟域采用水平周期性边界和上下自由滑移边界。垂直方向使用257个等间距网格点，水平方向则根据模拟需求（周期波或调制波）使用高分辨率谱方法（最多2048个水平波数）。模拟中加入了对高波数部分的拉普拉斯扩散以保证数值稳定。 2. 初始条件： 基于理论设定的指数层结，初始化一个模态-1的内潮波，其水平波数kh=0.2，最大垂向位移振幅a₀=0.003h。研究对比了两种情况：a) 水平周期波；b) 水平调制波包（振幅包络为余弦形式，调制波长为母波波长的16倍）。科里奥利参数f分别设为0和0.003N₀（对应夏威夷纬度）进行比较。 3. 数据处理与分析方法： * 从模拟输出中提取水平速度场u。 * 欧拉流： 对于周期波，通过对整个水平域进行空间平均得到<u>。对于调制波包，应用低通傅里叶滤波（保留波数小于4k的分量）来提取大尺度的平均流。 * 拉格朗日输运： 在模拟中同时求解了示踪粒子位移(ξ, η)的方程(3.1)，通过计算<∂ξ/∂t>来直接获取拉格朗日平均流速。 * 斯托克斯漂移： 在理论上，它被独立计算并与模拟结果进行比较。 4. 比较与验证： 将数值模拟得到的诱导欧拉流和拉格朗日流的时空演变，与理论推导出的公式(2.32)和(2.39-2.40)所预测的结果进行详细对比，检验理论的有效性和局限性。

主要结果：

1. 斯托克斯漂移的恒定性与结构： 模拟结果证实，尽管母波能量向超谐波转移、波形发生剧变（甚至形成孤立波列），但总斯托克斯漂移在时间上基本保持恒定。其垂直结构在所有研究案例中都呈现出模态-1和模态-2的混合特征，并且在表面，斯托克斯漂移的方向与波传播方向相同。图2和图6b清晰展示了这一稳定结构。
2. f ≠ 0情形（含旋转）： 数值模拟结果（图9）与理论预测高度吻合。
   • 诱导欧拉流如预测的那样进行惯性振荡，其垂直结构与斯托克斯漂移相反。
   • 拉格朗日流 u_L = u_s + u_e 在表面随时间在正负之间周期性变化。在一个惯性周期内，其平均值为零。图9(b, d, f)中模拟的平均流（蓝色虚线）与理论预测的欧拉流（蓝色实线）高度一致，斯托克斯漂移（红色）保持稳定，拉格朗日流（黑色）则表现出振荡。
   • 对于调制波包（图10），模拟显示诱导欧拉流、斯托克斯漂移和拉格朗日流都被波包振幅所调制，但其核心物理——惯性振荡和反相结构——在波包的高振幅区域依然成立。
3. f = 0情形（无旋转）：
   • 周期波： 诱导欧拉流确实如理论所预测，非常微弱，拉格朗日输运由斯托克斯漂移主导。
   • 调制波包： 模拟结果（图7，图8）强有力地支持了理论的核心预测。诱导欧拉流在波包峰值两侧被激发，符号相反，并随时间近似线性增长（图8b）。由于不同垂直模态以不同速度传播（γ_j不同），导致了图7(d-f)中观察到的诱导欧拉流在空间上的复杂演变结构。拉格朗日流（图7g-i）因此呈现出随时间变化的复杂垂直结构：在波包峰值的下游（后方），近表面的右向输运层变浅，并在z ≈ -0.05h深度处出现随时间增强的左向流；在波包峰值上游（前方），右向输运则向更深层延伸。图5的垂直时间序列图详细展示了这一演变过程。
4. 理论预测的局限： 模拟也揭示了理论线性增长预测的局限性。例如在图8b中，n₀t > 5000后，诱导欧拉流的增长出现饱和甚至减弱。作者将此归因于诱导流对波本身的多普勒频移效应（Doppler shifting），这种非线性反馈机制在理论推导的初期线性框架中未被考虑。

结论与价值：

本研究系统性地揭示了非线性内潮激发的拉格朗日质量输送机制，并明确区分了背景旋转存在与否两种截然不同的物理图景。

• 在存在科里奥利力的情况下（f ≠ 0）： 内潮的拉格朗日输运由稳定的斯托克斯漂移和与之反相的、进行惯性振荡的诱导欧拉流共同构成。净效果是，近表层的拉格朗日流速在一个惯性周期内正负交替，长期平均输送为零。这一结论对于理解中高纬度海域内潮产生的瞬时物质通量及其周期平均效应具有重要意义。
• 在赤道附近（f = 0）： 对于空间均匀的内潮，诱导欧拉流可忽略，斯托克斯漂移主导输送。然而，对于现实中普遍存在的、具有空间调制（如由月相变化引起的潮汐大小潮调制）的内潮波包，会激发出一个随时间增长、空间结构复杂的诱导欧流流。该流与斯托克斯漂移叠加后，会导致拉格朗日输运的垂直结构在波包传播过程中发生显著演变，在波包前方和后方形成不同的输送剖面。

研究的科学价值在于： 1. 理论创新： 成功地将超谐波的非线性激发与平均流响应统一在一个自洽的框架内，并发现了母波与超谐波集体强迫的“准稳态”特性，从而导出了简洁而物理意义明确的理论公式。 2. 物理机理澄清： 明确指出了旋转效应是决定内潮诱导欧拉流行为（振荡 vs. 增长/复杂结构）的关键控制参数，澄清了先前研究中关于稳态诱导流在赤道区域适用性的模糊认识。 3. 预测能力： 建立的理论能够定量预测内潮拉格朗日输运的垂直结构、时间演化和空间变化，为海洋环流和生物地球化学模型中参数化内潮驱动的输运过程提供了物理基础。

研究亮点：

1. 重要的发现：
   • 揭示了内潮非线性演化过程中，斯托克斯漂移和诱导欧拉流的强迫源（母波+超谐波）在时间上近似恒定，这一发现是简化整个理论体系的基石。
   • 在f ≠ 0时，诱导欧拉流与斯托克斯漂移垂直结构相反，并进行惯性振荡，导致拉格朗日流周期性反向。
   • 在f = 0时，仅对水平调制的波包才会产生显著且时空结构复杂的诱导欧拉流，且不同垂直模态以不同速度传播，这是先前研究未充分揭示的现象。
2. 方法的特殊性： 研究采用了紧密结合的“解析理论推导 + 全非线性数值模拟验证”方法。理论部分充分利用长波近似和模态分解，得出了清晰的分析解；数值模拟则作为“虚拟实验”，在完全非线性的框架下验证了理论在有限振幅情况下的有效性和局限性。
3. 研究对象的现实意义： 研究参数（层结、波数、振幅、调制）基于夏威夷附近真实的海洋内潮观测数据设定，使得研究结论对理解实际海洋过程具有直接参考价值。

其他有价值内容：

研究在附录中给出了两个重要的补充证明：附录A解释了在f=0且忽略时间变化时（即稳态理论），诱导欧拉流为何在非对称层结下会以模态-1结构为主，这与本研究的瞬态理论形成对比。附录B则从数学上严格证明了在长波近似和f ≪ N条件下，诱导欧拉流系数e_{j,f}与斯托克斯漂移系数s_j互为相反数，这是得出u_e ≈ -u_s (1 - cos(ft))这一简洁关系的核心。这两个附录增强了论文的理论深度和严谨性。