本文标题为“Control Barrier Functions: Theory and Applications”，由多位研究者合作完成，包括 Aaron D. Ames（California Institute of Technology）、Samuel Coogan（Georgia Institute of Technology）、Magnus Egerstedt（Georgia Institute of Technology）、Gennaro Notomista（Georgia Institute of Technology）、Koushil Sreenath（University of California, Berkeley）及 Paulo Tabuada（UCLA）。本文发表于2019年在意大利那不勒斯召开的“18th European Control Conference (ECC)”学术会议中，由 IEEE 出版。
文章是一篇综述性质的科学论文，主要讨论了“控制屏障函数（Control Barrier Functions, CBFs）”的理论基础及其在实际控制系统中的应用。以下为本文主要内容的学术性概述。
文中的研究主题为控制屏障函数及其在安全关键性系统中的应用，这是控制领域里一个相对较新的方向。文章首先提出了“安全”在工程系统中的重要性，借助1977年由 Leslie Lamport 在程序正确性（Program Correctness）研究中提出的“安全性（Safety）”理论，将“安全性”定义为确保“不良事件不会发生”。进一步，文章结合控制理论中的稳定性（Liveness）概念，将“安全”和“稳定”分别对应为“集合不变性（Set Invariance）”和“渐近稳定性（Asymptotic Stability）”。作者指出，与强调稳定性的 Lyapunov 函数相比，安全性研究长期以来在控制理论中的受关注程度较低。而随着自动化和智能化系统在未知和非结构化环境中运行的需求显著增加，安全性问题成为了控制系统设计的核心。
控制屏障函数因在控制系统中保证安全性而受到注目，它的研究基础可追溯到 Nagumo 在20世纪40年代关于集合不变性的必要与充分条件的开创性工作，后续研究则将其应用扩展到了混合系统和随机系统中。最近的研究结合了 Lyapunov 函数与控制屏障函数的方法，以通过优化算法有效解决既关注安全性又追求稳定性的问题。
文章第一部分详细介绍了控制屏障函数（CBFs）的基础理论。CBFs的关键思想在于将Lyapunov函数的稳定性理论应用“对偶化”处理到安全性的研究中。具体来说，通过构造CBFs，可以定义一个所谓的“安全集（Safe Set）”使系统的运行轨迹保持在安全集中。重要证明包括安全性的必要与充分条件、CBFs的形式化定义，以及如何通过优化算法构设计控器来保证安全性。
CBFs与Lyapunov 函数类似，同时具有一定的数学严格性。其核心定义通过“超水平集”定义一个安全集，并通过CBFs不等式，确保控制作用可保持集合的不变性。在实际实现中，CBFs还将作为输入限制的一种补偿机制，用于修正现有控制器的行为。
文章突出介绍了如何扩展CBFs以适用于高相对阶（High Relative Degree）的系统。在普通CBFs方法中，约束被假设为仅与控制变量的一阶导数相关，而很多复杂的动态系统，例如机器人系统，其安全约束往往是较高阶的。例如，对于步行机器人，其足部着地位置的动态控制通常是二阶甚至更高阶约束。
为此，文章引入了“指数控制屏障函数（Exponential Control Barrier Functions, ECBFs）”，通过遍历系统的高阶微分，构造一个指数递减的动态控制法则，使得即便在较高阶时也能有效保持安全集的不变性。这一方法的优点在于通用性强，且易于实现。
为了展示CBFs的实际应用，本文引用了一系列的案例： 1. 机器人系统：在动态步行机器人“步石问题（Stepping Stone Problem）”中，CBFs用于保证机器人足部的精确放置以避免失误跌倒。通过结合Hybrid Zero Dynamics (HZD)与CBFs分析，作者提供了较为详细的实验与仿真结果。 2. 自动驾驶系统：在自适应巡航控制（Adaptive Cruise Control）和车道保持（Lane Keeping）中，CBFs用于确保车辆始终满足安全距离及在车道内行驶的约束。作者还展示了通过CBFs如何实现多目标控制任务的无缝协同。 3. 平衡系统：在类似Segway的两轮自平衡机器人上，CBFs被用于实时“安全过滤器”，即使有外部扰动（如撞击），也能始终保持直立。 4. 多智能体系统的长期自主性：CBFs在多机器人系统中实现能量管理和协同任务时的长时操作被研究。CBFs通过编码能耗和碰撞避免条件，保障多机器人系统在资源约束下可持续完成任务。
CBFs的一个核心优势是其可以通过二次规划（Quadratic Program, QP）框架与控制Lyapunov函数（CLFs）结合，从而在同一个控制器中融合安全目标（安全性）与性能目标（稳定性）。这种方法使得控制器的设计更加通用化，并为拓展到多目标优化问题提供了有效工具。
作者在文末强调了CBFs在“安全关键控制系统”中具有前所未有的重要性，其显著性能（如解耦安全与性能设计）和广泛应用潜力使其在现代控制系统设计中占据主导地位。通过构建CBFs框架，控制系统设计已经可以实现与Lyapunov函数深度结合，并有效应用于自动化、机器人技术及智能系统。
论文的另一重要贡献在于强调了CBFs对约束控制系统的普适性，尤其是在设计高相对阶约束时，通过指数CBFs方法为社区提出了一个有效解决方案。倘若未来研究能够更进一步优化CBFs的计算开销、增强其鲁棒性，那么它将在增益增强机器人与自动系统安全性方面得到更多实际部署。
总结来看，本文不仅为CBFs的理论研究奠定了坚实基础，还通过丰富的案例分析提升了其现实应用价值。作为控制系统领域的一个重要工具，CBFs构成了未来安全关键系统的技术基石。