类型b
作者David J. Lucia（美国空军研究实验室）、Philip S. Beran（AFRL/VASD）和Walter A. Silva（NASA兰利研究中心）于2004年在《Progress in Aerospace Sciences》发表了题为《Reduced-Order Modeling: New Approaches for Computational Physics》的综述论文。该论文系统回顾了基于Volterra级数表示、本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）和谐波平衡（Harmonic Balance, HB）的降阶建模（Reduced-Order Modeling, ROM）技术在多学科计算物理问题中的应用，尤其聚焦于计算气动弹性力学领域。

1. 降阶建模的必要性与分类
论文开篇指出，尽管高性能计算机可精确模拟复杂非线性系统（如三维Navier-Stokes方程），但直接数值模拟在跨学科优化、控制设计和稳定性分析中仍存在效率瓶颈。降阶建模通过减少自由度（DOFs）保留系统关键动力学特征，实现计算效率与模型保真度的平衡。作者将非线性分为两类：
- 时间非线性（Temporal Nonlinearity）：状态变量间的多项式耦合，如气动弹性中的模态振幅非线性耦合。
- 空间非线性（Spatial Nonlinearity）：如激波（Shock Waves）等空间不连续性，需要动态重线性化。

2. Volterra理论及其应用
Volterra级数是非线性系统输入-输出映射的理论框架，通过核函数（Kernels）刻画系统响应。一阶核表征线性响应，高阶核捕捉非线性效应（如式1-4）。其优势在于无需训练数据，但收敛性受输入幅值限制。论文列举了以下应用：
- 气动弹性分析：通过脉冲响应和特征值实现算法（Eigenvalue Realization Algorithm, ERA）构建状态空间模型，成功预测RAE翼型和AGARD 445.6机翼的跨音速颤振边界。
- 实验数据融合：Duke大学利用Volterra核从CFD模拟中提取广义气动力（Generalized Aerodynamic Forces, GAFs），耦合结构动力学方程加速优化设计。

3. 本征正交分解（POD）方法论
POD通过最优基函数（Karhunen-Loève基）压缩系统自由度，步骤包括：
- 快照采集：从高保真模拟或实验中提取时空数据构建快照矩阵S（式13-14）。
- 模态截断：保留与最大特征值对应的模态，实现从数百万自由度到数十模态的降维（如m=10-100）。
- 投影方法：Galerkin投影（式26-27）或直接投影将全系统方程映射到低维空间，生成ROM方程（式22）。
典型案例包括：
- 跨音速流场预测：NASA利用POD-ROM在频率域快速计算线性扰动响应，耦合非线性结构方程，效率提升100倍（式25）。
- 激波运动建模：AFRL通过子空间投影处理Euler方程中的移动激波，误差低于10%（式35）。

4. 谐波平衡（HB）方法
HB针对周期性问题（如涡轮机械叶片振动），通过傅里叶级数逼近稳态解，显著减少瞬态计算时间。关键创新包括：
- 自适应HB（McMullen等）：动态调整谐波数量，在准一维喷管问题中减少86%计算耗时。
- 多频耦合：Hall等用HB求解包含7阶谐波的Navier-Stokes方程，精度与时间精确模拟相当，但耗时仅1/10。

5. 混合技术与未来挑战
- POD-Volterra混合：Lucia等结合POD的模态效率与Volterra的核函数灵活性，实现非平稳激波的高效建模（式10-11）。
- 局限与方向：论文指出ROM在强非线性、多参数耦合场景的鲁棒性不足，需进一步发展数据同化（Data Assimilation）与机器学习融合方法。

意义与价值
该综述首次系统整合了Volterra、POD和HB在计算物理中的跨学科应用，为CFD-driven设计（如飞行器气动优化、涡轮机颤振抑制）提供了方法论框架。其亮点在于：
1. 理论创新：明确了离散Volterra核与连续理论的区别，提出基于ERA的线性ROM实现途径。
2. 工程适用性：通过AGARD机翼等案例验证了ROM在跨音速气动弹性中的预测能力，误差控制在5%以内。
3. 跨学科融合：POD-HB混合方法为实时控制建模开辟了新范式，如NASA在自适应HB中引入梯度优化动态确定基频（式21）。

文末强调，未来需攻克ROM在湍流模拟（如LES耦合）与多相流中的可扩展性难题，以支撑高马赫数飞行器的数字化设计。