柔性绳索-刚性体系统动力学建模与仿真的约束方法研究

作者及机构
Zhixiang Li, Zhen Zhao*, Hanglan Zhang, Qingyun Wang（北京航空航天大学航空科学与工程学院）
期刊信息
发表于International Journal of Non-Linear Mechanics 152卷（2023年3月），论文编号104399

学术背景

本研究属于多体系统动力学与柔性体接触力学交叉领域，聚焦于滑轮-绳索和绞盘-绳索系统的动态行为建模。传统接触动力学分析存在两大方法：力分析法（force method）需离散接触区域并依赖精确本构关系，计算效率低；而约束法（constraint method）通过几何约束条件描述接触，虽可能面临奇异性问题，但效率显著提升。

研究团队针对边界可变的柔性体接触问题（如绳索在滑轮上的滑动与缠绕），提出共位置条件（co-position condition）和切向条件（tangential condition），旨在建立非光滑边界点的运动学连续性关系，解决现有方法（如有限元网格重构）导致的数值不连续问题。

研究方法与流程

1. 约束条件理论构建

核心约束方程：
- 共位置条件：接触点在两物体上位置重合
$$ \mathbf{r}_1(\mathbf{q}, \boldsymbol{\xi}_1^, t) = \mathbf{r}_2(\mathbf{q}, \boldsymbol{\xi}_2^, t) $$
- 切向条件：接触面在接触点处相切
$$ \mathbf{n} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}i}{\partial \xi{i,j}} = 0 \quad (i=1,2) $$
- 纯滚动约束（无滑动时）：接触点相对切向速度为零
$$ \mathbf{v}_r(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \boldsymbol{\xi}_i^*, t) = 0 $$

柔性体边界连续性假设：
1. 边界点$B^+$与$B^-$的距离可忽略
2. 接触点处切线向量连续

通过泰勒展开推导出边界点速度关系（式10）及曲率-速度耦合方程（式14），为后续动力学建模奠定基础。

2. 动力学建模方法

系统分解策略：
将绳索分为接触段与非接触段，分别采用不同描述方法：
- 非接触段：基于任意拉格朗日-欧拉描述（ALE）的绝对节点坐标法
- 广义坐标包含节点位置向量$\mathbf{r}$、斜率向量$\mathbf{r}‘$和可变材料坐标$p$
- 采用Hermite插值构建单元运动学关系（式16-18）
- 通过虚功原理推导单元动力学方程（式19），考虑惯性力、粘弹性力和外力的虚功

• 接触段：
  
  • 滑轮系统：以入口/出口点方位角$\theta$为广义坐标，建立局部坐标系下的约束方程（式22-27）
    
  • 绞盘系统：引入螺旋缠绕几何，补充旋转角$\gamma$的约束（式28-29）
    

全局方程组装：
通过拉格朗日乘子法耦合各段方程，形成统一求解格式：
$$ \begin{bmatrix} \mathbf{M}_e \ \mathbf{M}_c \ \mathbf{M}_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{\mathbf{q}}_e \ \ddot{\mathbf{q}}_c \ \ddot{\mathbf{q}}r \end{bmatrix} = \boldsymbol{\lambda} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Phi}{\dot{\mathbf{q}}e}^T \ \boldsymbol{\Phi}{\dot{\mathbf{q}}c}^T \ \boldsymbol{\Phi}{\dot{\mathbf{q}}_r}^T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{Q}_e \ \mathbf{Q}_c \ \mathbf{Q}_r \end{bmatrix} $$

3. 数值验证案例

案例1：平面滑轮-绳索系统
- 参数：绳索密度2000 kg/m³，截面积3.0265×10⁻⁵ m²，弹性模量70 GPa
- 结果：
- 移动滑轮中心x坐标波动小于0.1%（图10a），验证几何约束稳定性
- 负载1位移为负载2的2倍，与理论一致（图11a）
- 机械能守恒（图12），计算耗时仅35分钟（ADAMS需2小时）

案例2：绞盘-绳索系统
- 螺旋参数：节距0.06 m，半径0.3 m
- 结果：负载2下落驱动绞盘旋转，负载1上升距离等于负载2下落距离（图13），机械能误差%（图14）

案例3：复杂滑轮组系统
- 新增固定滑轮坐标优化后，计算结果与ADAMS吻合（图16a），耗时减少60%

研究结论与价值

科学价值：
1. 提出的约束法显著提升变边界接触问题的计算效率，较传统力分析法减少50%以上计算资源
2. ALE-Lagrangian混合描述有效解决柔性体网格重构导致的数值不连续问题
3. 边界点运动学连续性理论为多体系统非光滑动力学提供普适性建模框架

工程应用：
- 航天器展开机构：精确预测网状天线绳索释放动力学
- 起重机械系统：优化滑轮组设计以减少能量损耗
- 机器人柔性传动：提高绳索驱动系统的控制精度

研究亮点

1. 创新约束条件：首次将共位置/切向条件扩展至柔性体变边界问题，建立曲率-速度显式关系（式14）
   
2. 混合建模方法：结合ALE描述的网格自适应性与Lagrangian描述的物理一致性
   
3. 高效求解验证：通过三类典型案例（椭圆盘纯滚动、滑轮组、绞盘）实现理论-仿真-实验三重验证
   

本研究得到中国国家自然科学基金（No. 11972055）和JKW基金（No. 2020-JCJQ-JJ-009）支持，相关数据可通过通讯作者Zhen Zhao（bhzhaozhen@buaa.edu.cn）获取。