本文档是由Dmitry B. Avdeev（俄罗斯科学院地磁、电离层和无线电波传播研究所/爱尔兰都柏林高等研究院）撰写的综述性论文，发表于2005年的《Surveys in Geophysics》期刊。论文标题为《Three-dimensional electromagnetic modelling and inversion from theory to application》，系统回顾了三维电磁（3-D EM）正反演领域的理论进展与工程应用。
作者与发表背景
作者Dmitry B. Avdeev来自俄罗斯科学院和都柏林高等研究院，是计算地球电磁学领域的权威学者。论文发表于2005年，正值三维电磁数值模拟与反演技术快速发展期。国际电磁感应社区已召开三次专题会议（Oristaglio and Spies, 1999; Zhdanov and Wannamaker, 2002; MacNae and Liu, 2003），并出版了两期《Inverse Problems》特刊（Lesselier and Habashy, 2000; Lesselier and Chew, 2004），表明该领域亟需系统性综述。
论文主题与框架
论文聚焦三维电磁正反演的数值方法，分为两大部分：
1. 正演建模：对比有限差分（FD）、有限元（FE）和积分方程（IE）三类方法的优缺点及实现细节；
2. 反演方法：分析牛顿类优化、梯度计算等非线性反演技术的进展。
主要观点与论据
一、三维电磁正演建模的三大数值方法
有限差分法（FD）
- 原理：在矩形网格上离散麦克斯韦方程组，生成稀疏对称线性系统（( A_{FD}x = b )）。
- 优势：实现简单（如Yee网格），适用于各向异性介质（Weiss and Newman, 2002）和时域问题（Wang and Hohmann, 1993）。
- 挑战：低感应数（( \kappa = \sqrt{\omega\mu\sigma}d \ll 1 )）时需“散度校正”（Smith, 1996b）或LIN预处理器（Newman and Alumbaugh, 2002）。
有限元法（FE）
- 原理：基于Galerkin法分解场量为基函数，构建非对称稀疏系统（( A_{FE}x = b )）。
- 优势：复杂几何（地形、井筒）建模更精确（Sugeng et al., 1999）。
- 挑战：网格生成耗时（Badea et al., 2001），需结合多重网格预处理（Haber, 2005）。
积分方程法（IE）
- 原理：将麦克斯韦方程化为Fredholm积分方程（公式2），仅需离散散射体体积（( Vs )），系统矩阵( A{IE} )稠密但规模小。
- 优势：预处理器MIDM（Modified Iterative-Dissipative Method）使条件数降至( \sqrt{c_l} )（( c_l )为横向电导率对比度）（Avdeev et al., 2002a）。
- 挑战：格林函数计算复杂（Wannamaker, 1991）。
支持性数据：
- 表I对比IE与FD在测井模型中的计算效率（IE：30,752网格，MIDM预处理7次迭代，2950秒；FD：435,334网格，Jacobi预处理6000次迭代，5686秒）。
二、三维电磁反演的核心挑战与解决方案
难点
- 大规模（模型参数( m \sim 10^4 )、数据点( n \sim 10^3 )）；
- 病态性（非唯一解需Tikhonov正则化）；
- 计算成本高（需快速正演引擎）。
主流方法
- 牛顿类优化（公式5-6）：
- 高斯-牛顿法（忽略二阶导数）：需计算灵敏度矩阵( J = \partial f/\partial m )，通过共轭梯度（CG）迭代求解（Newman and Alumbaugh, 1997）。
- 数据空间反演（Siripunvaraporn et al., 2004b）：将( m \times m )系统转为( n \times n )系统（( n \ll m )时高效）。
- 非线性共轭梯度法（NLCG）：仅需梯度( g = \partial u/\partial m )，每步迭代需1次正演+1次伴随问题求解（Rodi and Mackie, 2001）。
典型案例：
- Mackie et al. (2001)反演MT数据（( n=2000 ), ( m=32,604 )，NLCG迭代20次，12小时/400MHz PC）；
- 全局优化（如Abubakar et al., 2001的对比源反演CSI）用于各向异性介质。
三、球状地球模型与静态极限
- 球状模型：谱分解（Grammatica and Tarits, 2002）、FE（Yoshimura and Oshiman, 2002）、IE（Kuvshinov et al., 2005）等方法模拟卫星感应数据。
- 静态极限（直流 regime）：Haber (2005)对比高斯-牛顿与拟牛顿（QN）法，QN通过低秩矩阵近似加速（92次正演/例）。
论文意义与价值
- 学术价值：
- 系统梳理了三维电磁正反演方法的技术脉络，指出预处理器设计（如LIN、MIDM）和梯度计算（伴随问题）是关键突破点；
- 强调多处理器架构（如MPI集群）对大规模反演的必要性。
- 应用价值：
- 为测井、航空电磁（AEM）、可控源（CSEM）和大地电磁（MT）等场景提供方法优选指南；
- 呼吁开源代码共享以加速领域发展。
亮点总结
- 方法论创新：
- 提出IE法的MIDM预处理器，显著降低条件数；
- 推广NLCG法在并行计算中的实用性（Newman and Commer, 2005）。
- 跨学科整合：
- 将Krylov子空间迭代（如GMRES、BiCGSTAB）与地球物理问题深度结合（附录A-B）。
- 前瞻性观点：
- 指出“全合一”（All-at-once）优化（Haber et al., 2004）是未来趋势，允许正演与反演同步迭代。