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主要作者及机构
本研究由L. Eça和M. Hoekstra共同完成。L. Eça来自葡萄牙里斯本高等理工学院机械工程系（Instituto Superior Técnico, Department of Mechanical Engineering），M. Hoekstra则隶属于荷兰海事研究所（Maritime Research Institute Netherlands）。研究发表于2014年的《Journal of Computational Physics》期刊上。

学术背景
本研究属于计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）领域，旨在解决CFD计算中数值不确定性的估计问题。随着CFD技术在复杂湍流计算中的成熟，验证和确认（Verification & Validation, V&V）成为评估计算结果可信度的重要环节。验证（Verification）关注数值误差，而确认（Validation）则关注模型误差。本研究专注于验证中的“解验证”（Solution Verification），即估计数值解的不确定性，尤其是在没有精确解的情况下。

研究的目标是提出一种基于网格细化研究的数值不确定性估计方法，适用于任何积分或局部流动量。现有方法通常要求数据处于“渐近范围”（Asymptotic Range），即网格足够精细以使得误差的幂级数展开中仅存在一个主导项。然而，实际应用中网格细化水平往往无法达到这一要求，因此本研究旨在开发一种适用于实际网格密度的不确定性估计方法。

研究流程
研究流程包括以下几个主要步骤：

1. 误差估计
   误差估计基于幂级数展开，使用最小二乘法拟合数据。具体步骤如下：

   • 首先，使用幂级数展开估计离散化误差，公式为：
     [ \varepsilon_\phi = \alpha h_i^p ]
     其中，(\phi_i)为流动量，(\phi_o)为精确解的估计，(\alpha)为常数，(h_i)为典型网格单元尺寸，(p)为观察到的网格收敛阶数。
     
   • 如果观察到网格收敛阶数(p)在0.5到2之间，则使用上述公式估计误差。
     
   • 如果(p > 2)，则使用固定阶数的幂级数展开（如(\alpha h_i)或(\alpha h_i^2)）进行误差估计。
     
   • 如果(p < 0.5)或无法确定，则使用包含两项的幂级数展开（如(\alpha_1 h_i + \alpha_2 h_i^2)）进行误差估计。
     
   • 所有拟合均使用最小二乘法，并计算拟合的标准差以评估拟合质量。

2. 不确定性估计
   不确定性估计基于误差估计结果，并引入安全因子（Safety Factor）。具体步骤如下：

   • 首先，计算数据范围参数：
     [ \Delta \phi = \frac{(\phii){\text{max}} - (\phii){\text{min}}}{n_g - 1} ]
     其中，(n_g)为网格数量。
     
   • 如果数据拟合质量可靠（即(0.5 \leq p < 2.1)且标准差(\sigma < \Delta \phi)），则安全因子(f_s = 1.25)。
     
   • 否则，安全因子(f_s = 3)。
     
   • 最终，不确定性估计为：
     [ u_\phi = fs \varepsilon\phi + \sigma + |\phii - \phi{\text{fit}}| ]

3. 应用示例
   研究通过四个测试案例验证了所提出方法的有效性：

   • 2D制造解：模拟近壁湍流，使用21个几何相似的网格进行计算。
     
   • 平板湍流：计算平板上的湍流流动，使用13个几何相似的网格。
     
   • 后向台阶流动：计算后向台阶上的湍流流动，使用19个几何相似的网格。
     
   • 油轮流动：计算油轮周围的流动，使用6个几何相似的网格。
     每个测试案例均验证了所提出方法在不同网格密度和流动复杂性下的适用性。

主要结果
1. 2D制造解
结果表明，所提出方法能够准确估计离散化误差，尤其是在网格密度较高的情况下。对于摩擦阻力系数(C_f)、位移厚度(\delta^*)、动量厚度(\theta)和形状因子(H)，误差估计结果与精确解一致。

1. 平板湍流
   在不同雷诺数下，所提出方法能够有效估计摩擦阻力系数(C_f)、位移厚度(\delta^*)、动量厚度(\theta)和形状因子(H)的不确定性。结果表明，所提出方法在不同网格密度和湍流模型下均表现出良好的适用性。

2. 后向台阶流动
   所提出方法在后向台阶流动中表现出较高的鲁棒性，能够有效估计摩擦阻力系数(C_f)和压力阻力系数(C_p)的不确定性。即使在网格质量较差的情况下，所提出方法仍能提供合理的误差估计。

3. 油轮流动
   所提出方法在油轮流动中表现出较高的适用性，能够有效估计摩擦阻力系数(C_f)、压力阻力系数(C_p)、粘性阻力系数(C_v)和名义尾流分数(W_f)的不确定性。结果表明，所提出方法在复杂几何和流动条件下仍能提供可靠的误差估计。

结论
本研究提出了一种基于网格细化研究的数值不确定性估计方法，适用于任何积分或局部流动量。所提出方法通过幂级数展开和最小二乘法拟合数据，能够有效估计离散化误差，并引入安全因子以提高不确定性估计的可靠性。通过四个测试案例的验证，所提出方法在不同网格密度和流动复杂性下均表现出良好的适用性。该方法为CFD计算中的数值不确定性估计提供了一种有效的工具，具有重要的科学和应用价值。

研究亮点
1. 创新性方法：本研究提出了一种基于网格细化研究的数值不确定性估计方法，适用于实际网格密度，解决了现有方法对“渐近范围”数据的依赖问题。
2. 广泛应用性：所提出方法在2D制造解、平板湍流、后向台阶流动和油轮流动中均表现出良好的适用性，证明了其在复杂流动条件下的鲁棒性。
3. 高效性：通过最小二乘法拟合数据和引入安全因子，所提出方法能够高效且可靠地估计数值不确定性，为CFD计算提供了重要的工具。

其他有价值内容
本研究还详细介绍了所提出方法的数学推导和实现细节，并提供了附录以帮助读者更好地理解和应用该方法。此外，研究还讨论了所提出方法在不同测试案例中的表现，为未来的研究和应用提供了重要的参考。