这篇研究论文题为“film deposition and transition on a partially wetting plate in dip coating”，由 Peng Gao（高鹏，通讯作者）、Lei Li（李雷）、James J. Feng、Hang Ding（丁航）和 Xi-Yun Lu（陆夕云）共同完成。其中，第一、第四、第五作者来自中国科学技术大学近代力学系，第二、第三作者来自加拿大不列颠哥伦比亚大学数学系和化学与生物工程系。该研究发表于流体力学领域的顶级期刊 Journal of Fluid Mechanics，具体刊载于2016年的第791卷，358-383页。

本研究的学术领域属于流体力学，具体聚焦于界面与毛细现象、接触线动力学以及薄膜流动。研究的背景源自工业涂层与绘画等广泛存在的液膜沉积过程，其中“浸涂”是一种简单而经典的实现方式：将固体板从液体储槽中垂直拉出，在板上形成一层均匀的液膜。对于完全润湿的液体，Landau, Levich 和 Derjaguin 提出了著名的LLD定律，成功预测了膜厚与毛细数（Ca数，衡量粘性力与表面张力之比）之间的标度关系。然而，对于部分润湿的基板，由于存在运动接触线，液膜的沉积和转捩行为要复杂得多。尽管已有不少理论和实验研究，但以往的理论工作常常关注于分离的参数区间，对于随着拉拔速度增加而出现的完整流动状态图景，仍缺乏一个统一的描述。此外，大多数理论依赖于润滑近似，其精度在界面斜率较大时需要验证；而直接求解Navier-Stokes方程的全尺度数值模拟则非常困难，主要挑战在于同时解析薄膜和运动接触线。因此，本研究旨在结合扩散界面数值模拟和润滑理论分析，对部分润湿板上浸涂过程的液膜沉积与转捩提供一个完整、详细的描述，并验证先前理论与实验的发现。

本研究的工作流程主要分为三个相互关联和验证的部分：数值模拟方法建立与验证、全参数范围内的流动状态识别与分析、以及基于润滑理论的界面形态理论建模与对比。

首先，在数值模拟方面，研究采用了一种扩散界面方法 耦合 Cahn-Hilliard 模型来处理气-液界面的变形和运动接触线问题。该方法引入了相场变量 φ 来区分液体和气体，通过在界面处引入一个很小的厚度 ε，避免了传统模型中的接触线应力奇点。控制方程包括描述混合流体运动的Stokes方程和描述相场演化的Cahn-Hilliard方程。通过引入与壁面润湿性相关的边界条件，可以实现指定的后退接触角。计算域是一个二维矩形区域，左侧为以速度U向上运动的固体板，右侧为静止壁面，底部和顶部分别设定了相应的流动边界条件。研究的核心无量纲参数是毛细数 Ca = μU/σ，接触角固定为 θ = 51.5° 以与特定实验对照。为了确保结果的物理意义和收敛性，研究者精心选择了扩散界面厚度参数（Cahn数）和迁移率参数。数值求解通过伽辽金有限元法实现，并采用了非结构三角形网格和自适应网格加密技术，特别在界面附近和板壁附近的薄膜区域进行加密，以确保计算精度。时间推进采用二阶全隐式格式，离散后的非线性系统通过牛顿迭代求解。这套算法此前已成功应用于多种涉及运动接触线的两相流问题。

其次，在理论分析方面，研究并行使用了润滑理论来分析和理解不同区域的界面形态。对于厚度为 h(y,t) 的薄膜，其演化由考虑完整曲率形式的润滑方程控制，并引入了Navier滑移模型来正则化接触线处的奇异性。研究者指出，在达到准稳态后，可以在随特定结构（如接触线或毛细激波）运动的参考系中分析界面形状，此时方程可以简化，并需根据所研究区域（如静态弯月面、厚膜、凹陷、LLD膜、毛细激波）的特点施加不同的边界条件。这些理论解将通过“打靶法”等数值技巧求得，并与全尺度模拟结果进行对比。

在详尽的工作流程基础上，本研究获得了一系列系统而重要的结果，完整描绘了随毛细数Ca增加而出现的四种连续流动状态。

结果一：静态弯月面状态（I区， Ca < Ca_c,1 = 0.0243）。 当拉拔速度较低时，接触线在板上抬升到一个新的平衡位置并保持静止，形成一个稳态的弯月面，没有液膜沉积。数值模拟得到的接触线抬升高度 Δy_cl 随 Ca 的变化关系，与 Chan 等人基于润滑理论发展的渐近解吻合良好。该理论预测动态润湿转变（即开始沉积液膜）发生在表观接触角 变为零时，对应的接触线高度理论值为 √2。本研究的模拟结果显示，在阈值 Ca_c,1 处，最大抬升高度约为1.51，略高于√2，这被归因于模拟中使用的扩散长度（一种微观尺度）较大，导致粘性效应不严格局限于接触线附近。尽管如此，数值结果支持了“转变发生在表观接触角为零”这一理论判据。值得注意的是，本模拟得到的临界毛细数 Ca_c,1 高于实验中观察到的值，这与模拟中使用较大的“有效滑移长度”有关，但不影响定性结论。

结果二：厚膜状态（II区， Ca_c,1 < Ca < Ca_c,2 = 0.029）。 当 Ca 超过第一个阈值，静态弯月面失稳，接触线开始持续向上运动，导致液膜沉积。有趣的是，沉积出的并非经典的LLD薄膜，而是一个厚度几乎不随 Ca 变化的厚膜，其厚度约为 ht ≈ 0.242。这个厚膜通过一个静态的凹陷与下方的液体储槽相连。在随接触线运动的参考系中，厚膜的界面形状是稳态的。通过润滑理论分析，在滑移长度远小于膜厚的极限下，可以得到厚膜的平坦区域厚度满足 ht = √(3Ca)，其中 Ca 是接触线相对于板的运动速度（即脱湿速度）。模拟给出的 Ca* ≈ 0.020，代入公式得到的 ht 与模拟值非常接近。进一步将模拟得到的厚膜完整轮廓与润滑理论预测进行对比，发现即使在大接触角情况下，二者也吻合得极好，这验证了采用完整曲率形式的润滑方程的有效性。

结果三：厚膜与LLD膜共存状态（III区， Ca_c,2 < Ca < Ca_c,3 ≈ 0.16）。 当 Ca 超过第二个阈值 Ca_c,2，II区中的静态凹陷变得不稳定，并转变为一个更薄的、经典的LLD膜。而上游的厚膜依然存在。厚度不同的厚膜与LLD膜通过一个向上传播的毛细激波连接。该激波在传播过程中保持形状不变。此时，整个界面结构包含三个特征部分：上游的厚膜、中间的毛细激波、下游的LLD膜。研究测量了LLD膜的厚度 hl，发现其随 Ca 增加而增加，但比经典的LLD定律（hl ∝ Ca^(²⁄₃)）以及Wilson的修正公式预测值都要薄。这被认为是由于在较大的 Ca（膜厚与毛细长度可比）下，重力排液效应显著，使液膜变薄。通过求解润滑方程并匹配远场边界条件，得到了更精确的 hl(Ca) 关系，与模拟数据符合良好。同时，研究还发现接触线和毛细激波的传播速度均与时间成线性关系。接触线相对于板的速度恒为 Ca*，与 II 区相同。毛细激波的速度则可由厚膜和LLD膜的厚度通过理论公式 (3.14) 预测，与模拟结果一致。

结果四：单调厚度薄膜状态（IV区， Ca > Ca_c,3）。 当 Ca 进一步增加超过第三个阈值 Ca_c,3，毛细激波消失。此时沉积的液膜厚度从接触线处的值开始，随高度单调变化，最终趋于一个均匀的厚度。这个阈值可以通过条件 hl = ht 来估计，即LLD膜的厚度增长到与厚膜厚度相等，使得连接两者的激波结构不再必要。模拟结果证实了这一点。

关于 II 区到 III 区转变的机制，本研究通过润滑理论的深入分析提供了关键见解。研究者将凹陷及相邻界面视为一个整体，寻找满足底部连接储槽、顶部趋近于厚膜 ht 的稳态解。结果发现，对于固定的 ht，凹陷解只存在于一个最大的 Ca 值以下，这个最大值非常接近模拟中观察到的 Ca_c,2。超过这个值，稳态凹陷解不复存在。更重要的是，理论揭示了凹陷解本身存在一个鞍结分岔和一系列后续分岔。模拟中实际实现的只是解族中的一个稳定分支。在分岔点附近，存在一系列对应于不同凹陷形状的解，其中一些解在凹陷上方趋近于一个平坦的薄膜（即LLD膜），并通过一个静止的毛细激波与上游厚膜连接。这些解虽然无法在动态模拟中直接观察到，但它们从理论上解释了从凹陷到LLD膜转变的不连续性：在临界点 Ca_c,2，界面形态从凹陷跳跃到LLD膜，而不是连续地演变，这与图3中膜厚数据的跳跃现象一致。

本研究的结论是，通过全尺度数值模拟和理论分析，首次完整地描绘了部分润湿板上浸涂过程中，随拉拔速度增加而出现的四个连续流动状态：静态弯月面、带有静态凹陷的厚膜、厚膜与LLD膜通过毛细激波共存、以及具有单调厚度变化的薄膜。研究确认了液膜沉积起始于表观接触角为零的条件，支持了润滑理论的预测。数值结果表明，尽管模拟得到的沉积起始临界毛细数高于实验值，但由于它小于厚膜向LLD膜转变的第二个临界值，因此在二维模型中厚膜是可能存在的流动状态。研究进一步证明，LLD膜的出现是由静态凹陷解的分岔触发的，该凹陷解本身存在多个稳定和不稳定分支。研究对各个状态下的界面形态（厚膜、凹陷、LLD膜、毛细激波）进行了详细的润滑理论分析，并与数值结果取得了令人满意的一致。

这项研究的科学价值在于，它首次通过直接求解全Stokes方程的数值模拟，系统再现和验证了部分润湿浸涂中复杂的薄膜转捩序列，填补了该领域全尺度数值研究的空白。它澄清了不同流动状态之间的转变条件与机制，特别是揭示了厚膜存在的可能性和LLD膜产生的分岔本质，深化了对运动接触线驱动下界面动力学行为的理解。在应用价值上，该研究为工业涂层过程中液膜厚度和均匀性的精确控制提供了更深入的理论依据和预测工具。研究发展的“扩散界面-有限元”模拟框架，也为处理涉及运动接触线和薄膜流动的复杂多相流问题提供了有力的数值手段。

本研究的亮点突出体现在以下几个方面：1. 完整图景：首次通过数值模拟给出了从静态到动态、从厚膜到LLD膜的完整流动状态演化图景。2. 方法创新与验证：成功应用并验证了扩散界面方法结合自适应有限元网格处理此类长界面、薄薄膜、运动接触线问题的能力。3. 机制揭示：不仅观察到了现象，更重要的是通过润滑理论分析，揭示了静态凹陷的分岔行为是触发LLD膜形成的内在机制，并明确了各状态转变的不连续性特征。4. 多尺度衔接：研究在宏观尺度（全尺度模拟）和介观尺度（润滑理论）之间建立了紧密的对话和相互验证，增强了结论的可靠性。5. 与实验对标：研究选择的参数（如接触角）旨在与特定实验研究对标，使得数值发现能够与实验观察进行有意义的比较和讨论，尽管在定量上因微观尺度不同存在差异。

此外，研究还讨论了实验中观察到的“预临界转变”现象（即液膜在表观接触角尚未为零时就已开始沉积），指出这可能是由于实验中板的边缘效应或接触角滞后等三维或复杂因素引起，为后续研究指明了方向。研究中对接触线速度、毛细激波速度的定量测量和理论预测，也为相关动力学提供了精确的数据支持。