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高效三维频率域半航空电磁建模：基于区域分解方法的研究

作者及机构
本研究的作者为Zhejian Hui（成都理工大学地球物理学院）、Xuben Wang（成都理工大学地球物理学院，通讯作者）、Changchun Yin和Yunhe Liu（吉林大学地球探测科学与技术学院）。研究发表于期刊《Remote Sensing》2023年第15卷，文章编号5636，出版日期为2023年12月5日，采用知识共享许可协议（CC BY 4.0）开放获取。

学术背景
滑坡是常见的自然灾害，常导致重大人员伤亡和经济损失。传统地球物理技术在复杂地形区的滑坡早期监测中存在局限性。半航空电磁法（Semi-Airborne Electromagnetic, SAEM）通过无人机平台实现快速无人遥感，可克服地形影响，成为滑坡探测的有效手段。然而，传统三维SAEM正演建模计算效率低，难以满足实际需求。为此，本研究提出了一种基于区域分解法（Domain Decomposition Method, DDM）的高效正演算法，旨在提升复杂地形和地质结构下的建模效率。

研究方法与流程
1. 问题建模与方程构建
研究基于准静态近似下的麦克斯韦方程组，推导了电场控制的旋度-旋度方程（curl-curl equation），并引入狄利克雷边界条件确保解的唯一性。核心方程为：
[ \nabla \times \nabla \times \mathbf{E} + i\omega \mu \sigma \mathbf{E} = -i\omega \mu \mathbf{J}_s ]
其中，(\mathbf{E})为电场，(\omega)为角频率，(\sigma)为电导率，(\mathbf{J}_s)为源电流。

1. 区域分解与有限元离散化

   • 网格划分：采用非结构化四面体网格（unstructured tetrahedral mesh）离散计算域，通过METIS软件将全域划分为80个子域，确保各子域自由度（DoF）均衡。
     
   • 对偶-原始有限元撕裂互联法（FETI-DP）：
     将全域问题转化为界面拉格朗日乘子问题，避免直接求解大规模线性方程组。具体步骤包括：
     
     • 子域内部分类：将网格边分为内部边（i）、界面边（f）和角点边（c）。
       
     • 构建局部-全局映射矩阵（布尔矩阵(\mathbf{B}_r)和(\mathbf{B}_c)），耦合子域方程。
       
     • 通过广义最小残差法（GMRES）迭代求解界面问题，并采用预处理矩阵(\mathbf{P}^{-1})加速收敛。

2. 算法验证与对比

   • 精度验证：设计三层地电模型，对比FETI-DP与一维半解析解的结果。结果显示，振幅相对误差%，相位误差<0.8°，验证了算法的准确性。
     
   • 效率对比：与传统有限元法（FE）相比，在相同网格下（864,130自由度），FETI-DP内存消耗降低22%（18.08 GB vs 23.27 GB），计算时间减少15%（508秒 vs 596秒）。网格加密至2,357,140自由度时，FETI-DP效率优势更显著。

3. 滑坡模型应用

   • 地形影响分析：对比平坦地形与滑坡地形的电磁响应，发现地形效应在1000 Hz时导致振幅异常达70%，证明地形不可忽略。
     
   • 含水层识别：模拟滑坡区含水层厚度变化（10 m增量），结果显示含水层增厚10 m时，磁场响应（(B_z)）异常达10%，证实SAEM对地下水变化的监测能力。
     
   • 源位置优化：当发射源靠近滑坡体时，信号异常更显著，建议实际勘探中将源布设于斜坡上。

主要结果
1. 算法性能：FETI-DP在保证精度的前提下，显著降低了内存需求和计算时间，适用于大规模并行计算。
2. 地形效应：数值实验表明，复杂地形对SAEM响应的影响不可忽略，需在正演中精确建模。
3. 应用价值：SAEM可有效识别滑坡区含水层变化，为滑坡稳定性评估提供关键水文地质参数。

结论与意义
本研究提出的FETI-DP方法为三维频率域SAEM建模提供了高效解决方案，其科学价值体现在：
1. 方法创新：首次将FETI-DP与矢量有限元结合，解决了复杂地形下的计算效率瓶颈。
2. 应用推广：为滑坡灾害监测提供了新的技术手段，尤其适用于地形崎岖区的快速探测。
3. 扩展潜力：算法框架可扩展至其他频率域电磁法（如CSEM、MT）的建模中。

研究亮点
1. 高效性：通过区域分解将全域问题降维，避免了传统有限元法的大规模矩阵求解。
2. 精度保障：采用非结构化网格和高阶基函数，精确拟合复杂几何形态。
3. 工程导向：针对滑坡监测的实际需求，量化了地形和含水层的影响规律。

其他价值
研究开源了算法实现细节，并建议未来结合诱导极化（IP）效应进一步优化模型。数值实验数据可通过通讯作者获取，便于同行复现和验证。

（注：全文约1500字，涵盖研究全流程，重点突出方法创新与应用验证。）