本研究由西北工业大学自动化学院的Yanbo Yang, Zhunga Liu，西安邮电大学自动化学院的Yuemei Qin，以及西北工业大学自动化学院的Quan Pan共同完成。其成果以论文《Novel Pseudo-Linear Kalman Filtering for 3D Angle-Only Tracking in the Presence of Observer’s Location Errors》的形式，于2023年6月10日发表在控制与自动化领域的权威期刊《automatica》第155卷上。

该研究隶属于自动控制与信息融合领域，具体聚焦于目标跟踪中的三维纯角度跟踪（3D Angle-Only Tracking， AOT）问题。在军事（如红外搜索与跟踪、被动定位）和民用领域，使用单一或多个观测器仅通过获取目标的方向（方位角和高低角）信息来估计其运动状态是一项重要且富有挑战性的任务。传统的解决方法，特别是伪线性卡尔曼滤波器（Pseudo-Linear Kalman Filter, PLKF）及其改进版本（如偏置补偿PLKF和基于工具变量的PLKF），在假设观测器位置精确已知的前提下，展现了良好的性能。然而，在实际应用中，观测器自身的位置（例如通过惯性导航或全球定位系统获得）不可避免地存在随机误差。这些观测器位置误差（Observer’s Location Errors， OLEs）会直接污染到角度测量值中，若被忽略，将严重恶化现有滤波算法的精度，甚至导致跟踪失败。因此，研究如何在观测器位置存在随机误差的情况下，设计出具有高精度、实时性和稳定性的三维AOT滤波算法，具有重要的理论和实际意义。本研究的核心目标，正是为了解决这一开放性问题，提出一系列能够在存在OLEs时，依然保持优越性能的新型伪线性卡尔曼滤波算法。

研究流程逻辑清晰，层层递进，主要包括理论模型构建、滤波器设计、性能验证三个核心阶段。研究对象是移动目标在三维笛卡尔坐标系中的运动状态向量，包含位置和速度分量。研究并未使用真实传感器数据进行实验，而是通过建立严谨的数学模型和进行大规模的蒙特卡洛仿真来验证算法的有效性。

第一阶段是问题建模与噪声特性分析。 首先，研究团队在考虑观测器位置误差（OLEs）的条件下，构建了一个新的伪线性测量模型。该模型将原始的三角函数非线性测量方程，重新表述为一个关于目标状态向量的线性形式（伪线性），但引入了复杂的、与角度测量噪声及OLEs相关的综合测量噪声。为了设计卡尔曼滤波器，必须获知这个综合噪声的统计特性（均值和协方差）。这是本研究的关键基础步骤。研究者首先在“理想观测器位置已知”的条件下，推导了这个综合噪声前两阶矩（一阶矩均值、二阶矩协方差）的精确理论表达式。然而，在实际中，我们只能得到含噪的观测器位置，而非理想位置。因此，研究的第二步是分析OLEs如何通过三角映射关系，导致方位角和高低角测量产生额外的误差。通过一阶泰勒展开，将这些角度误差近似为OLEs的线性函数，从而可以计算出它们的均值和协方差（在给定含噪观测器位置的条件下）。此外，研究还通过数值模拟，验证了这些角度误差的分布可以合理地用高斯分布来近似，为后续的滤波器推导奠定了理论基础。最后，基于这些角度误差的统计特性，研究团队“重新分析”了伪线性测量模型中综合噪声的前两阶矩，但这次的条件是“给定含噪的观测器位置”。这产生了一系列新的、更符合实际应用场景的噪声统计量计算公式。这一阶段的成果，为后续滤波器设计提供了核心的数学工具。

第二阶段是系列滤波器的设计与推导。 基于第一阶段得到的新伪线性模型和噪声统计量，研究团队首先提出了基础的“存在观测器位置误差的伪线性卡尔曼滤波器”（OpKF）。其算法流程与标准卡尔曼滤波器类似，包括预测（基于目标运动模型）和更新（基于新的伪线性测量模型）两个步骤。特别之处在于，更新步骤中使用的测量矩阵和测量噪声协方差矩阵，都是根据含噪观测器位置和新的理论公式计算得出的，从而融入了对OLEs影响的处理。然而，由于伪线性测量矩阵与测量值本身都包含相同的含噪角度，导致OpKF的状态估计存在固有的偏差（Bias）。为了提升精度，研究进入第三步：偏差分析与补偿。团队递归地推导出了OpKF估计偏差的一个闭合形式（closed-form）表达式。这个偏差表达式是状态、角度噪声和OLEs的复杂函数。利用这个偏差估计，他们提出了“存在观测器位置误差的偏置补偿伪线性卡尔曼滤波器”（BCOpKF）。该算法在OpKF的估计结果基础上，减去估计出的偏差量，从而得到一个近似无偏的、更精确的状态估计。研究的第四步是进一步利用工具变量法来消除相关性。工具变量法的核心思想是构造一个与测量噪声统计独立，但又与系统状态强相关的矩阵，来替代原伪线性测量矩阵。本研究巧妙地利用BCOpKF提供的状态估计值，并结合对OLEs引起的角度误差的统计期望，构造出一个最优工具变量矩阵的近似。基于此，最终提出了“存在观测器位置误差的基于工具变量的伪线性卡尔曼滤波器”（IVOpKF）。该算法有望获得比BCOpKF更高的估计精度。

第三阶段是算法性能的仿真验证与分析。 为了评估所提出算法的有效性，研究设计了一个三维AOT蒙特卡洛仿真场景。目标和观测器均按设定轨迹运动，目标为近匀速运动，观测器为分段匀速运动以提供可观测性。传感器角度测量噪声和观测器位置误差（假设其各分量间存在相关性）均被设置为符合高斯分布。作为对比，研究同时仿真了多种现有算法：非线性滤波类（如无迹卡尔曼滤波器UKF、容积卡尔曼滤波器CKF），以及假设观测器位置精确已知的伪线性算法（PLKF， BCpKF， IVpKF，文中记为TpLKFs）。性能评价指标为估计位置和速度的均方根误差（RMSE）。仿真的主要结果和逻辑关系如下：首先，基础对比显示，在存在OLEs时，直接将含噪位置用于传统PLKF及其变体（BCpKF， IVpKF）会导致精度显著下降，其RMSE远大于使用真实观测器位置的对应算法（TpLKFs）。而本研究提出的BCOpKF和IVOpKF的RMSE虽然略高于TpLKFs（这是由于对角度误差的线性近似等简化处理所致），但显著低于忽略OLEs影响的BCpKF和IVpKF。这直接证明了考虑并补偿OLEs的有效性。其次，与非线性滤波器（UKF， CKF）相比，伪线性系列算法（包括本文提出的）在大多数时间段表现出更优或相当的性能，并且避免了因角度象限跳变可能带来的数值不稳定性和复杂逻辑处理，凸显了伪线性方法在AOT问题中的优势。最后，研究通过参数扫描进行了深入分析：一是改变传感器角度测量噪声水平。结果显示，随着噪声增大，所有算法精度下降。但OLEs的相对影响变小，因此本文算法与传统忽略OLEs的算法之间的精度差距逐渐缩小。有趣的是，在传感器精度极高时，BCOpKF略优于IVOpKF；而在精度较低时，IVOpKF更优。这为实际应用中的算法选择提供了指导。二是改变OLEs的误差水平。随着OLEs增大，忽略它的传统算法（BCpKF， IVpKF）精度急剧恶化，而本文提出的BCOpKF和IVOpKF精度下降平缓，且始终显著优于前者。这强有力地证明了本文算法对OLEs的鲁棒性，以及在实际观测器定位精度不高的场景下的重要价值。

本研究的主要结论是，成功为解决存在观测器位置误差的三维纯角度跟踪问题，提出了一套完整且有效的伪线性卡尔曼滤波解决方案。通过严谨的理论推导，建立了OLEs影响下的新测量模型和噪声统计表征，并据此设计了OpKF、BCOpKF和IVOpKF三个递进式算法。仿真结果充分证实，与现有方法相比，新算法能够显著提升在观测器位置不精确情况下的跟踪精度和鲁棒性。

本研究的科学价值在于，首次在递归滤波（即在线逐帧估计）的框架下，系统性地解决了三维AOT中观测器位置误差的建模与补偿问题，填补了该领域的一个研究空白。它扩展了伪线性估计理论的应用范围，提供了处理复杂相关噪声的新思路。其应用价值则十分直接且重要：在实际的被动跟踪、协同定位等系统中，观测平台（如无人机、水下潜器）的自身定位永远不可能是完美的。本研究提供的算法能够直接嵌入此类系统，在不显著增加计算复杂度（与扩展卡尔曼滤波器EKF同阶）的前提下，有效利用含误差的观测器位置信息，获得更可靠的目标状态估计，从而提高整个系统的实用性和性能。

本研究的亮点突出体现在以下几个方面：首先，研究问题的前沿性与实用性：聚焦于实际AOT应用中不可避免但此前在递归滤波框架下研究不足的观测器位置误差问题，选题具有重要的现实意义。其次，理论推导的系统性与创新性：从构建新模型出发，逐步推导OLEs引起的角度误差统计特性，并以此为基础重新分析伪线性噪声的统计矩，整个理论链条完整、严谨，为算法设计奠定了坚实的理论基础。推导中提出的在“给定含噪观测器位置”条件下的统计矩计算方法是一大创新。再次，算法设计的递进性与完整性：从基础滤波（OpKF）到偏差补偿（BCOpKF），再到工具变量法（IVOpKF），提供了不同复杂度与精度需求的系列解决方案，形成了完整的方法论体系。最后，验证分析的充分性与深入性：不仅进行了基本性能对比，还从传感器精度和OLEs水平两个维度进行了深入的参数敏感性分析，全面展示了算法的性能边界和优势，结论令人信服。

此外，论文还指出了未来可能的研究方向，例如使用更高阶的泰勒展开或统计线性回归（如无迹变换）来更精确地刻画角度误差的统计特性，这可能在牺牲一定计算效率的前提下，带来进一步的精度提升。这为后续研究者指明了可能的改进路径。这项研究是一项理论扎实、设计精巧、验证充分且具有显著应用潜力的优秀工作。