西安西北工业大学管理学院的Zhizhong Tan、Bei Wu和Ada Che（通讯作者）在*Reliability Engineering and System Safety*期刊（2023年第235卷，论文编号109207）发表了一篇题为《基于马尔可夫过程的多状态系统弹性建模》（Resilience Modeling for Multi-state Systems Based on Markov Processes）的研究论文。以下从学术背景、研究流程、主要结果、结论与价值等方面对该研究进行系统阐述。

一、学术背景

随着全球变暖加剧，地震、洪水等破坏性事件频发，能源、通信等关键基础设施系统因规模扩大而脆弱性增加，弹性（resilience）成为系统设计与运行的核心要求。现有研究对弹性的定义存在分歧：部分学者仅关注系统恢复能力（如Sharma、Rajesh），而Carlson、Ouyang等则提出弹性应涵盖抵抗（resistant）、吸收（absorption）、恢复（recovery）三种能力。然而，现有模型多缺乏对这三种能力的统一量化框架，且针对多状态系统（multi-state system）的马尔可夫过程建模存在状态空间爆炸（state space explosion）问题。为此，本研究提出一个基于聚合随机过程理论（aggregated stochastic process theory）的综合性弹性量化框架，填补上述空白。

二、研究流程与方法

1. 模型构建

• 系统状态划分：将系统性能水平分为四类状态子集：
  
  • 完美运行状态（𝑺₁）：性能无退化；
    
  • 非完美运行状态（𝑺₂）：功能缺陷但仍可运行；
    
  • 中断状态（𝑺₃）：功能停止；
    
  • 非弹性状态（𝑺₄）：系统永久损坏。
    
• 马尔可夫过程建模：系统状态演化通过连续时间齐次马尔可夫过程{𝑋(𝑡)}描述，其无穷小生成矩阵𝑸按状态子集分块（如𝑸ₛ₁ₛ₂表示𝑺₁到𝑺₂的转移率矩阵）。

2. 弹性量化框架

定义四类弹性指标（每类包含固有与获得性指标）：
1. 抵抗弹性（resistant resilience）：系统抵抗破坏性事件的能力，量化指标为：
- 固有抵抗概率（𝑅𝑒𝐼）：系统在𝑺₁的累计停留时间≥阈值𝜃𝑅𝑒的概率；
- 获得性抵抗概率（𝑅𝑒𝐼(𝑡)）：系统在时间𝑡内始终处于𝑺₁的概率。
2. 吸收弹性（absorption resilience）：系统通过性能降级维持运行的能力，量化指标类似但扩展至𝑺₁∪𝑺₂。
3. 恢复弹性（recovery resilience）：系统从𝑺₃恢复至𝑺₁的能力，通过恢复时间阈值𝜃𝑅𝑒𝑐量化。
4. 整体弹性（overall resilience）：综合评估系统保持弹性的能力。

3. 解析公式推导

通过聚合随机过程理论将高维状态空间压缩：
- 定义聚合矩阵（如𝑮ₛ₁ₛ₂ = −𝑸ₛ₁ₛ₁⁻¹𝑸ₛ₁ₛ₂），表征子集间转移概率；
- 利用拉普拉斯变换导出各弹性指标的显式解析公式（如定理1中𝐹𝑇𝑅𝑒∗(𝑠)的表达式）。
- 配套开发蒙特卡洛模拟（MCS）算法（如算法1-6）验证解析公式的正确性。

4. 案例验证

• 核电站地震分析：构建5状态马尔可夫模型，量化地震威胁下的弹性指标；
  
• 数值算例：通过12状态模型展示方法应对状态空间爆炸问题的有效性。

三、主要结果

1. 理论贡献：
   
   • 提出首个集成抵抗、吸收、恢复能力的多状态系统弹性量化框架；
     
   • 推导出四类弹性指标的闭式解，解决了马尔可夫模型高维状态空间的计算难题。
     
2. 应用验证：
   
   • 核电站案例显示，系统在强震下的整体弹性概率为78.5%，恢复弹性受资源调配延迟显著影响；
     
   • 数值算例表明，聚合方法将12状态模型计算复杂度降低60%，验证方法的工程适用性。
     
3. 结果间的逻辑链：
   
   • 抵抗与吸收弹性公式（定理1-4）为恢复弹性（定理5-6）提供边界条件；
     
   • 案例结果反哺理论优化（如阈值𝜃的动态调整策略）。

四、结论与价值

1. 科学价值：
   
   • 统一了弹性定义的学术分歧，提出多维度量化标准；
     
   • 拓展了聚合随机过程理论在可靠性工程中的应用场景。
     
2. 应用价值：
   
   • 为核电、电网等关键设施提供韧性设计工具，例如通过提升𝑺₁→𝑺₂转移率可增强吸收弹性；
     
   • 动态获得性指标（如𝑅𝑒𝐼𝐼𝐼(𝑡)）支持运营阶段的实时决策。
     

五、研究亮点

1. 方法论创新：首次将聚合随机过程理论引入弹性建模，解决状态空间爆炸问题；
   
2. 全阶段覆盖：从抵抗到恢复的完整生命周期量化；
   
3. 工程普适性：案例证明方法适用于从简单（5状态）到复杂（12状态）的系统。
   

该研究通过理论创新与工程验证，为多状态系统弹性分析提供了可量化、可验证的通用框架，对高可靠性系统的设计与运维具有重要指导意义。