学术研究报告：一项关于多目标投资组合优化新模型的研究
一、 研究作者、机构与发表信息
本研究的主要作者是Erindi Allaj，其所属机构为意大利帕尔马大学经济与管理系。该研究以学术论文形式发表在国际期刊《Journal of Computational and Applied Mathematics》第487卷（2026年），文章标题为《A four-objective mean-variance-CVaR-ESG model for portfolio selection problem》，在线发表日期为2026年4月20日，文章识别码为117719。
二、 学术背景与研究目标
本研究属于金融工程与计算金融交叉领域，具体聚焦于投资组合选择（Portfolio Selection）这一经典问题。自Markowitz提出均值-方差（Mean-Variance）模型以来，该框架一直是现代投资组合理论的基石。然而，传统的双目标（收益与风险）模型因过于简化现实而受到广泛批评。后续研究主要沿着两个方向扩展：一是引入更精细的金融风险度量，如条件风险价值（Conditional Value-at-Risk, CVaR），以更好地捕捉极端损失；二是纳入非财务标准，如环境、社会和治理（Environmental, Social, and Governance, ESG）评分，以反映可持续投资理念。
尽管已有研究分别将CVaR或ESG纳入模型，但将四个关键目标——期望收益、方差（传统风险）、CVaR（尾部风险）和ESG评分（可持续性）——同时整合进一个统一的优化框架的研究尚不充分。现有模型要么只关注财务风险（如均值-方差-CVaR模型），要么只结合财务与可持续性目标（如均值-方差-ESG模型），未能全面协调财务绩效、下行风险控制和可持续性责任。
因此，本研究旨在填补这一空白，提出一个创新的四目标投资组合优化模型（均值-方差-CVaR-ESG模型）。其核心目标在于：1）构建一个同时优化期望收益、方差、CVaR和ESG评分的数学模型；2）开发有效的求解方法以获得该模型的“有效”投资组合（即帕累托有效前沿上的解）；3）通过实证分析，在真实市场数据（道琼斯工业平均指数DJIA和欧洲斯托克50指数Euro Stoxx 50）上评估该模型样本外（Out-of-Sample）表现，并与现有的均值-方差-CVaR和均值-方差-ESG两个竞争模型进行系统比较，以验证其作为现有模型有效替代方案的潜力。
三、 详细研究流程与方法
本研究的工作流程逻辑清晰，主要包含理论模型构建、求解算法设计、实证数据准备、样本内分析与样本外性能评估四大步骤。
步骤一：四目标模型的理论构建与转化 首先，研究正式定义了四目标优化问题：在投资权重可行集（满足预算约束和非卖空约束）内，同时最小化负期望收益、投资组合方差、投资组合CVaR，以及负ESG评分。这是一个典型的多目标优化问题。为了求解，研究采用了ε-约束（𝜖-constraint）技术，将多目标问题转化为单目标问题。具体选择是：以最小化投资组合方差为主要目标，同时将期望收益、CVaR和ESG评分转化为约束条件。转化后的单目标问题表述为：在满足期望收益不低于目标值δ1、CVaR不高于目标值ε2、ESG评分不低于目标值δ3的条件下，最小化投资组合方差。
其次，为了便于数值求解，研究假设了一个离散概率空间（即使用历史情景），并利用Rockafellar和Uryasev提出的方法，将CVaR的优化问题线性化。通过引入辅助变量𝑢𝑡，将原本非线性的CVaR约束转化为一系列线性约束。最终，整个优化问题被表述为一个凸二次规划问题，其目标函数是权重的二次型（方差），所有约束（包括预算约束、非卖空约束、期望收益约束、ESG约束以及线性化后的CVaR约束）均为线性。这种形式化使得问题可以通过标准优化软件（如MATLAB中的quadprog或linprog）高效求解。
步骤二：有效前沿的生成算法 如何系统地生成代表不同风险-收益-可持续性偏好的有效投资组合，是应用模型的关键。本研究设计了一个三层嵌套的搜索程序来确定约束参数(δ1, ε2, δ3)的可行范围与取值点： 1. 确定期望收益目标δ1的范围：计算全局最小方差组合(GMVP)的收益δ1,gmvp、最小CVaR组合(MCVaRP)的收益δ1,mcvarp和最大ESG组合(MESGP)的收益δ1,mesgp。取三者最大值作为δ1的下限(δ1,min)。上限(δ1,max)则为最大可能期望收益。 2. 对每个固定的δ1，确定CVaR目标ε2的范围：在给定δ1下，求解最小化CVaR的问题，得到ε2的下限(ε2,min(δ1))。同时，求解给定δ1下的最小方差问题，得到最优组合w*，并计算其CVaR值作为ε2的上限(ε2,max(δ1))。 3. 对每对固定的(δ1, ε2)，确定ESG目标δ3的范围：在给定(δ1, ε2)下，求解最小化方差问题，得到该组合的ESG评分作为δ3的下限(δ3,min(ε2))。再求解最大化ESG评分的问题，得到δ3的上限(δ3,max(ε2))。
通过在上述三个区间内各选取若干个点（例如，研究中对δ1取3个点，对ε2取3个点，对δ3取3个点），并求解对应的凸二次规划问题，即可生成一系列位于四目标有效前沿上的投资组合。研究特别指出，通过设定特定的参数组合（如将δ3设为其下限），该模型可以退化为均值-方差-CVaR模型；通过将ε2设为其上限，可以退化为均值-方差-ESG模型；同时设定两者则退化为经典的均值-方差模型。这体现了该四目标模型的通用性。
步骤三：实证数据与对比模型设置 研究采用了两个数据集进行实证检验：道琼斯工业平均指数（DJIA，包含28只成分股）和欧洲斯托克50指数（Euro Stoxx 50，包含45只成分股）。数据时间跨度为2006年10月至2020年12月，包含3715个日度价格和对应的Refinitiv（现为LSEG）提供的ESG评分。收益率由日度价格计算得出。 为了评估所提模型的性能，研究设定了两个竞争基准模型： 1. 均值-方差-CVaR模型：仅考虑收益、方差和CVaR三个目标，忽略ESG。 2. 均值-方差-ESG模型：仅考虑收益、方差和ESG三个目标，忽略CVaR。 分析分为样本内（In-Sample）和样本外（Out-of-Sample）两部分。样本内分析使用全部历史数据计算有效前沿，观察各目标间的关系。样本外分析采用滚动时间窗口（Rolling Time Window, RTW） 方法：设定一个长度为500个交易日（约2年）的估计窗口，用于计算模型输入（收益率均值、协方差矩阵、ESG均值、CVaR情景），并求解得到最优投资组合权重。然后将该权重应用于随后的20个交易日（约1个月）的持有期，计算样本外收益和ESG表现。之后，窗口向前滚动20天，重复上述过程。所有数值计算均在MATLAB R2024b中完成。
步骤四：性能评估指标 为了全面比较不同模型生成的投资组合策略，研究计算了11个性能指标，归为五类： 1. 收益指标：平均收益率（MR）。 2. 风险指标：标准差（SD）、下行标准差（DSD）、最大回撤（MaxDD）、CVaR（置信水平95%）。 3. 风险调整后收益指标：夏普比率（SR，假设无风险利率为0）、索提诺比率（SOR）、盈亏比（GLR）、Rachev比率（RR）。 4. 交易成本代理指标：投资组合换手率（PT）。 5. 可持续性指标：平均ESG评分（MESG）。 此外，还计算了投资组合的多样化指数（DI） 和样本外累计收益。
四、 主要研究结果
样本内分析结果： 对DJIA数据集的分析（Euro Stoxx 50结果类似）显示，对于所有三种模型（均值-方差-CVaR-ESG、均值-方差-ESG、均值-方差-CVaR）生成的有效组合，存在以下清晰关系： * 收益与风险的正相关关系：在固定ESG和/或CVaR目标水平下，期望收益越高，投资组合的方差和CVaR也越高。这与经典金融理论一致。 * 收益与可持续性的负相关关系：在固定其他目标下，期望收益越高，投资组合的ESG评分倾向于越低。这表明在样本内，高收益往往需要以牺牲一定的可持续性为代价。 * 模型间比较：均值-方差-ESG组合能实现最高的ESG评分，但通常伴随着更高的方差和CVaR。均值-方差-CVaR组合能实现最低的方差和CVaR，但ESG评分较低。而本研究提出的四目标模型则处于两者之间，提供了在风险（方差、CVaR）和可持续性（ESG）之间进行权衡的连续谱系。
样本外分析结果（基于DJIA数据集，窗口长度500天，持有期20天，α=5%）： 1. 风险与收益关系：样本外的风险指标（SD, DSD, CVaR, MaxDD）普遍验证了样本内的结论，即高期望收益目标通常导致更高的样本外风险。 2. 四目标模型的有效性： * 对于四目标模型，表现最佳的投资组合往往产生于较低的期望收益目标（δ1,min）、较高的CVaR容忍度（ε2,max）和较高的ESG要求（δ3,max）。该组合在多个风险调整后收益指标（SR, SOR, GLR）以及最大回撤（MaxDD）上表现最优，同时保持了可接受的风险水平和多样化程度。 * 该最优四目标组合在至少5个指标上优于所有均值-方差-ESG组合，在至少7个指标上优于所有均值-方差-CVaR组合。 * 研究特别指出，这个表现优异的组合（高CVaR、高ESG）在数学上接近于“均值-CVaR-ESG”有效组合，表明对于同时关注均值、CVaR和ESG的投资者，高ESG要求对投资组合绩效产生了积极影响。 3. 与竞争模型的对比： * 均值-方差-ESG模型：其最佳表现组合出现在低/中期望收益和高ESG目标下，能在平均收益（MR）、Rachev比率（RR）和平均ESG（MESG）上取得最高值，但代价是更高的风险和更低的投资组合多样化。 * 均值-方差-CVaR模型：其最佳表现组合出现在中低期望收益和低CVaR目标下，在传统风险指标（SD, DSD, CVaR）和换手率（PT）上表现最佳，但在收益和风险调整后收益指标上普遍逊于其他两个模型。 * 当期望收益目标设为最高时（δ1,max），所有模型的有效前沿收窄，经典的均值-方差（最小方差）组合表现相对更好。 4. 稳健性检验：研究通过改变CVaR的置信水平（α从5%变为1%）和持有期长度（从20天变为60天）进行了稳健性分析。结果显示，主要结论保持稳定。特别是，在α=1%的设定下，四目标模型在低期望收益水平下的表现（MR和风险调整后收益）甚至比基准情况（α=5%）有所改善。
五、 研究结论与价值
本研究成功构建并实证检验了一个创新的四目标投资组合优化模型。主要结论如下： 1. 模型的有效性与实用性：所提出的均值-方差-CVaR-ESG模型是现有文献中模型的一个有效且实用的替代方案。它作为一个“中间道路”，平衡了只关注财务标准或仅结合部分财务与非财务标准的模型。 2. 通用性框架：该模型具有高度的通用性，通过调整约束参数，可以自然退化为主流的均值-方差-CVaR模型、均值-方差-ESG模型乃至经典的均值-方差模型。 3. ESG影响的异质性：实证分析揭示了一个重要发现：ESG评分对投资组合绩效的影响因市场而异。对于DJIA（美国市场）成分股，高ESG要求与更好的样本外风险调整后绩效相关联。然而，对于Euro Stoxx 50（欧洲市场）成分股（在线附录中报告），结果却显示，高ESG要求可能对绩效产生负面影响，绩效提升更依赖于低期望收益和低/中水平的CVaR。这表明ESG整合的财务影响具有市场特异性，不能一概而论。 4. 方法论贡献：研究提供了完整的、可操作的从多目标模型构建、ε-约束转化、参数区间确定到有效组合生成的完整方法论流程，并利用线性化技术将问题转化为易于求解的凸二次规划，具有很好的计算可行性。
六、 研究亮点
七、 其他有价值的内容
研究在方法论部分详细论证了所采用ε-约束方法的理论合理性，并引用了多目标优化理论中的相关定理，确保了转化后的单目标问题的解即为原多目标问题的帕累托有效解。此外，在线附录（Online Appendix）中提供了关于Euro Stoxx 50数据集的详细样本外结果以及更全面的稳健性分析，增加了研究的透明度和可重复性。作者公开了所使用的数据集来源，体现了良好的学术实践。