针对不确定机械臂的全局非奇异预设时间轨迹跟踪控制研究：基于预设时间扩张状态观测器的综合解决方案
一、 研究作者、机构与发表信息
本研究的主要作者包括聂军 (Jun Nie)、董璐娇 (Lujiao Dong)、孙乔乔 (Qiaoqiao Sun，通讯作者)、张超 (Chao Zhang) 和张朝阳 (Chaoyang Zhang)。作者单位分别来自中国山东科技大学电气工程与自动化学院以及中国成都的西南技术物理研究所。该研究成果以学术论文的形式发表于 ISA Transactions 期刊，该期刊是国际自动化协会旗下的重要刊物。文章于2025年8月31日被接收，并于2025年9月10日在线发表，卷期号为167卷，页码范围为480至502。
二、 学术背景与研究动机
本研究隶属于自动控制与机器人学交叉领域，核心关注机械臂的高性能轨迹跟踪控制问题。机械臂作为现代工业自动化的核心，在医疗手术、汽车制造及危险环境作业等关键领域扮演着重要角色。精确的轨迹跟踪控制是其有效执行任务的基础。然而，在实际应用中，机械臂系统面临多重挑战，包括模型不确定性（如参数摄动）、外部环境扰动、执行器饱和（由于物理限制，输入力矩有上限）以及系统状态部分未知（如关节速度通常难以直接精确测量）等。
为解决这些问题，滑模控制 (Sliding Mode Control, SMC) 因其强鲁棒性、快速响应和易于实现等优点，成为机械臂轨迹跟踪的主流方法之一。传统线性滑模控制能保证系统渐近稳定，但收敛时间可能很长。随后发展的有限时间控制 (Finite-Time Control) 和固定时间控制 (Fixed-Time Control) 理论，虽然能在有限或固定时间内收敛，但仍存在局限：有限时间控制的收敛时间依赖于系统初始状态；固定时间控制的收敛时间虽与初始状态无关，但其上界由控制器参数决定，难以在系统设计前被精确预设，这对于有严格时间要求的任务是一个障碍。
预设时间控制 (Predefined-Time Control) 的概念应运而生，其最大优势在于收敛时间可以作为一个独立的、可自由设定的参数直接嵌入控制器设计中，确保系统状态在预设时间前收敛，且与初始状态无关。尽管已有研究将预设时间滑模控制 (PTSMC) 应用于机械臂，但大多未能同时处理模型不确定性、外部扰动、未知关节速度测量、输入饱和和非奇异性 (Singularity-Free) 这五大挑战。
基于此，本研究的核心目标是：首次提出一种能够同时应对上述五大挑战的、全局非奇异的预设时间滑模轨迹跟踪控制策略，并设计相应的预设时间扩张状态观测器 (PTESO) 和预设时间抗饱和补偿器 (PTASC)，以实现整个闭环系统在预设时间内的稳定收敛。
三、 研究工作的详细流程
本研究是一个理论结合仿真的控制算法设计与验证工作，其流程主要包括动态系统建模、控制器与观测器设计、稳定性理论证明以及数值仿真验证四个核心环节。研究对象是一个具有两自由度 (2-DOF) 的刚性机械臂模型。
1. 机械臂动态模型建立与问题描述 研究者首先给出了n自由度刚性机械臂的标准动力学方程：M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + G(q) = τ + τ_d。其中，q, q̇, q̈ 分别为关节角位置、速度和加速度向量；M(q) 为惯性矩阵；C(q, q̇) 为科里奥利力和离心力矩阵；G(q) 为重力向量；τ 为控制输入力矩；τ_d 为外部干扰。 为处理不确定性，将系统参数分解为标称部分 (M_0, C_0, G_0) 和不确定部分 (δM, δC, δG)。将所有不确定性（模型不确定性和外部扰动）集总为一个扰动 d。最终得到用于控制器设计的系统方程：q̈ = M_0^{-1}(q)τ + M_0^{-1}(q)d - M_0^{-1}(q)(C_0(q, q̇)q̇ + G_0(q))。研究基于两个基本假设：关节角度可测，关节速度不可测；集总扰动有界。
2. 预设时间扩张状态观测器 (PTESO) 设计 为估计不可测的关节速度 x2 = q̇ 和集总扰动 d（被视为扩展状态 x3），研究者设计了PTESO。这是一个创新点。 * 状态空间扩展：将原二阶系统转化为包含扩展状态 x3 的三阶系统：ẋ1 = x2, ẋ2 = M_0^{-1}τ + x3, ẋ3 = h (h为扰动导数，假设有界)。 * 观测器结构：设计观测器动态方程来估计 x1, x2, x3 (估计值记为 z1, z2, z3)。观测器的核心是引入了一个基于位置估计误差 e1 = z1 - x1 的双幂次收敛项 (π/(η T_eso)) (e1^{1-r} + e1^{1+r})，其中 T_eso 就是预设的观测器收敛时间，r ∈ (0,1)。这一设计使得观测误差能在预设时间 T_eso 内收敛到零。 * 辅助控制律：为了确保观测器在预设时间内稳定，研究者还设计了一个辅助控制律 u_a，它结合了滑模面 s1 = c1 e1 + e2 和超扭算法 (Super-Twisting Algorithm) 项，用于处理观测误差动态。 * 稳定性证明：通过构造两个李雅普诺夫函数 (V1, V2)，并利用预设时间稳定性引理，严格证明了观测误差系统能在预设时间 T_eso 内达到稳定，即 z1 → q, z2 → q̇, z3 → d。其新颖性在于：1) 实现了对速度和集总扰动的预设时间估计；2) 通过使用参数相同的双幂次误差项，减少了可调参数，简化了手动调参过程。
3. 非奇异预设时间滑模控制器 (PTSMC) 与抗饱和补偿器 (PTASC) 设计 这是研究的另一个核心创新，旨在利用PTESO的估计值，设计控制器使跟踪误差在预设时间 T_c 内收敛。 * 跟踪误差与滑模面：定义位置跟踪误差 w = q - q_d，速度跟踪误差 ẇ = z2 - q̇_d。设计了一个非奇异的预设时间滑模面 s。其关键是在滑模面中引入了一个关于位置误差 w 的分段非线性函数 f(w)。该函数在 |w| 较大和较小时采用不同形式，巧妙地避免了传统终端滑模控制中当 ẇ ≠ 0 而 w → 0 时可能出现的控制律奇异问题。 * 控制律设计：控制律 τ 由等效控制律 τ_eq、切换控制律 τ_ssw 和抗饱和补偿控制律 τ_sa 三部分组成。 * τ_eq：用于抵消已知动力学和扰动估计，使系统状态保持在滑模面上。 * τ_ssw：一个预设时间稳定的趋近律，确保系统状态能在预设时间 T_c1 内到达滑模面 s=0。它同样采用了双幂次形式 (π/(η T_c1)) ( (γ/2)||s||^{2-η} + (1/2)||s||^{2+η} ) s。 * τ_sa：由PTASC产生，用于补偿执行器饱和。 * 预设时间抗饱和补偿器 (PTASC) 设计：为处理输入力矩饱和 sat(τ)，设计了一个辅助动态系统，其状态变量为 ϑ。该系统的动态方程包含一项预设时间收敛项 -(π/(ε T_sa)) (ϑ^{1+ω} + ϑ^{1-ω})，使得 ϑ 能在预设时间 T_sa 内收敛。补偿控制律 τ_sa 与 ϑ 成正比。当控制输入未饱和时，ϑ 保持为零或很小，τ_sa 不起作用；当输入饱和时，ϑ 动态变化，通过 τ_sa 调整总控制输入 τ，从而减轻饱和带来的不利影响。 * 整体稳定性证明：研究者通过分步证明和构造复合李雅普诺夫函数 V7，证明了整个闭环系统（包含PTESO、PTSMC和PTASC）是全局预设时间稳定的。总收敛时间 T 满足 T ≤ T_c1 + 2T_c2，其中 T_c1 是到达滑模面的时间，T_c2 是沿滑模面收敛的时间。所有时间均可通过设计参数直接预设。
4. 仿真验证与分析 研究使用一个2-DOF机械臂模型进行数值仿真，参数如表2所示。仿真分为两大部分： * PTESO性能验证：设置了不同的预设收敛时间 T_eso (0.5s, 1.5s, 2s)。结果显示，在不同 T_eso 下，PTESO均能在预设时间或之前准确地估计出位置、速度和扰动（图3-8）。通过积分绝对误差 (IAE) 和绝对平均误差 (AAE) 指标定量比较，发现更短的预设时间对应更小的误差（图9-14）。此外，与文献[35]中的一种实用预设时间扩张状态观测器 (PPTESO) 进行对比，本研究的PTESO在速度估计和扰动估计的IAE和AAE上显著更低（仅为PPTESO的21%-40.9%），证明了其更高的估计精度和鲁棒性（图15-20）。 * 整体控制系统性能验证： * 预设时间收敛验证：固定 T_eso=0.5s，改变控制器预设时间 T_c2 (2s, 3s, 4s) 和 T_c1 (2s, 3s, 4s)。仿真表明，滑模面 s、位置跟踪误差 w 和速度跟踪误差 ẇ 均能在相应的预设时间内收敛到零或极小邻域（图21-26）。误差指标 (IAE, AAE) 和能量控制输入 (ECI, AECI) 的分析也验证了系统的性能（图27-32）。 * 对比实验：将本研究的控制器（控制器1）与两种先进控制器进行对比：基于固定时间扰动观测器的固定时间滑模控制器 (FTSMC，控制器2) 和带抗饱和补偿器的全局有限时间滑模控制器 (GFTSMC，控制器3)。在相同的期望轨迹 (sin(3t), cos(3t)) 下，控制器1能在约0.5秒内完成精确跟踪，而控制器2和3需要约1秒或更长时间（图33-36）。控制器1的收敛速度最快，且控制力矩曲线更平滑，抖振更小（图37），这得益于其预设时间特性和抗饱和补偿器的有效作用。
四、 主要研究结果
理论成果：成功设计并理论证明了一种全新的、全局非奇异的预设时间滑模轨迹跟踪控制框架。该框架集成了三个核心组件：
T_eso 内，精确估计不可测的关节速度和集总扰动，且参数调节更简单。T_c 内收敛。T_sa 内动态补偿执行器饱和效应，提升系统在饱和约束下的跟踪性能和稳定性。 李雅普诺夫稳定性分析严格证明了整个闭环系统的全局预设时间稳定性。仿真验证结果：
五、 研究结论与价值
本研究成功解决了同时存在模型不确定性、外部扰动、未知速度测量、输入饱和和非奇异性要求的机械臂轨迹跟踪控制难题。主要结论是：所提出的基于PTESO和PTASC的非奇异预设时间滑模控制策略，能够确保整个闭环系统在用户预设的时间内实现稳定、精确的轨迹跟踪，且对上述多种实际挑战具有强鲁棒性。
其科学价值在于：1) 理论创新：首次将预设时间控制、非奇异滑模、扩张状态观测和抗饱和补偿在机械臂控制中进行了系统性融合与理论拓展，为处理复杂约束下的高性能控制提供了新的理论框架。2) 方法创新：设计的PTESO和分段非线性滑模面具有结构新颖、参数易调的特点；PTASC实现了饱和效应的预设时间补偿。
其应用价值在于：该控制策略的预设时间特性使其特别适用于对任务完成时间有严格要求的工业场景（如装配、抓取）。较强的鲁棒性和对饱和的处理能力，也提升了机械臂在不确定环境和物理限制下的可靠性与实用性。
六、 研究亮点
七、 其他有价值内容
论文在讨论部分也指出了未来研究方向：当前工作主要关注系统的稳态预设时间性能，而未考虑跟踪误差的瞬态性能（如超调、收敛过程形状）。未来的研究可以探索结合规定性能控制 (Prescribed Performance Control) 的方法，在保证预设时间收敛的同时，对误差的瞬态行为（如收敛速率、最大超调）进行约束和优化，从而进一步提升系统的综合性能。此外，作者也计划将所提策略应用于实际物理实验平台，通过参数整定以获得最优控制效果。