本文作者为Mengmeng Zheng（中北大学数学学院）和通讯作者Kaixin Gao（中国海洋大学数学科学学院与海洋数学实验室），论文发表于《SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications》2026年第47卷第3期，页码1078至1121。该研究属于四元数张量低秩补全领域，旨在解决高维数据（尤其是彩色视频等多维彩色数据）在观测不完整情况下的精确恢复问题。研究提出了基于四元数张量管秩（quaternion tensor tubal rank）与四元数张量管核范数（Quaternion Tensor Tubal Nuclear Norm, QTNN）的凸优化补全框架，并从理论上证明了精确恢复保证，同时开发了高效的求解算法。

在学术背景方面，论文指出高维数据采集与处理中普遍存在缺失或损坏问题，低秩补全技术已成为应对这些挑战的重要工具。传统实数张量方法虽然在保持多维结构方面优于矩阵方法，但在处理彩色数据时通常将RGB通道分开处理，导致无法捕获通道间相关性，进而可能产生色彩失真。四元数代数通过将RGB通道编码为纯四元数（r·i + g·j + b·k），能够整体保持颜色通道间的关联，已在彩色图像处理中展现出显著优势。然而，对于维度不低于三维的高维彩色数据，若将四元数矩阵补全方法直接应用，则需将数据矩阵化，这会破坏空间、时间与通道维度之间的固有相关性。近年来虽已出现四元数张量分解相关研究，但缺乏严格的理论基础、精确恢复保证以及计算高效且具有闭式解的优化框架。针对上述空白，本文旨在建立基于QTNN的精确低管秩四元数张量补全（Low-Rank Quaternion Tensor Completion, LRQTC）框架。

在工作流程方面，研究首先定义了若干关键概念：四元数张量平均秩、四元数张量管秩以及四元数张量谱范数（quaternion tensor spectral norm），并引入QTNN作为秩最小化的凸代理。理论上，作者证明了QTNN是四元数张量平均秩在四元数张量谱范数单位球内的凸包络（convex envelope），从而为使用凸优化方法替代非凸秩最小化提供了理论依据。接着，作者提出基于四元数张量管秩的LRQTC模型，并建立了精确恢复保证：在适当的非相干性条件（quaternion tensor incoherence conditions）下，最小化QTNN能够以高概率精确重构低管秩四元数张量。为得到该保证，作者建立了四元数版本的算子马尔可夫不等式、非交换Chernoff界、Golden–Thompson不等式以及非交换Bernstein不等式。在算法方面，作者开发了四元数张量奇异值阈值（quaternion tensor singular value thresholding, QT-SVT）算法，该算法为QTNN最小化问题提供了闭式解，并利用交替方向乘子法（ADMM）求解LRQTC模型。研究对象的样本来自合成数据与真实世界数据，实验中对比了基于Tucker秩或管秩的实数张量补全方法以及基于Tucker秩的LRQTC方法，评价指标包括定量指标与视觉质量。

论文的核心理论结果之一是定理4.2给出的精确恢复保证：设观测指标集Ω由对称性决定，若采样概率p满足p ≥ c₀μr log²(n₁n₃)/n₂，则以至少1 − c₁(n₁ + n₂)^(−c₂)的概率，未知四元数张量M是QTNN最小化问题（4.1）的唯一解。该采样复杂度为O(rn₁n₃ log²(n₁n₃))，低于低管秩四元数张量的自由度O(rn₁n₃)，且与实数域低管秩恢复及四元数矩阵恢复的既有结果一致。在凸包络证明中，作者通过共轭函数方法，分两步证明QTNN是四元数张量平均秩在谱范数单位球内的凸包络。在算法方面，定理4.4证明了QT-SVT算子D_τ(Y)是邻近算子argminX τ‖X‖* + 1/2‖X − Y‖_F²的闭式解，保证了ADMM迭代中X子问题的高效求解。实验结果显示，本文方法在合成数据与真实数据上的定量指标和视觉质量均优于多种现有方法，验证了理论分析的正确性。

论文的主要结论包括：（1）QTNN是四元数张量平均秩在谱范数单位球内的凸包络，可作为四元数张量管秩的凸代理；（2）在非相干条件下，最小化QTNN可以以高概率精确恢复低管秩四元数张量；（3）QT-SVT算法为QTNN最小化问题提供了计算高效的闭式解；（4）实验验证了该方法在彩色图像与视频补全中的优越性。科学价值方面，该研究填补了四元数张量补全在理论保证与凸松弛方面的空白，建立了四元数域非交换情形下的集中不等式，为后续四元数张量理论奠定了基础。应用价值方面，该方法能够同时保持高维彩色数据的时空结构与通道间相关性，在彩色视频恢复、医学影像、多媒体通信等领域具有广泛前景。

论文的亮点包括：第一，首次系统定义了四元数张量的管秩、平均秩、谱范数与管核范数，并证明了QTNN的凸包络性质，为凸优化在四元数张量低秩恢复中的应用提供了严格理论依据；第二，建立了四元数版本的多个非交换集中不等式，并据此给出了精确恢复保证，这在四元数张量补全领域尚属首次；第三，提出QT-SVT闭式解算法，结合ADMM框架实现了高效求解；第四，实验在真实彩色数据上展示了相比实数张量方法的明显优势，尤其在避免色彩伪影方面表现突出。此外，论文还讨论了四元数FFT非完全可逆性的问题，并通过限制在第三模态对称四元数张量（third-mode symmetric quaternion tensor）上予以解决，该处理方式及说明对于后续四元数张量算法设计具有参考价值。