基于能量泛函的线性时滞系统模型阶次降阶的延迟依赖方法

本文是由 Lordejani, Sajad Naderi；Besselink, Bart；Chaillet, Antoine；Van de Wouw, Nathan 合作完成，并分别来自不同机构，包括荷兰 Eindhoven University of Technology、University of Groningen、法国 CentraleSupélec 和美国 University of Minnesota。该研究发表于 Automatica 杂志，并于 2020 年正式出版，论文 DOI 为 10.1016/j.automatica.2019.108701。

背景与研究目的

时滞系统广泛存在于如工程、经济学和生物学等领域，例如钻井系统、交通系统和电路等，这些系统通常用延迟微分方程（delay differential equations, DDE）来描述。然而，当时滞系统的状态变量多、模型阶次高时，分析和控制设计变得十分复杂。例如，鲁棒控制技术仅能有效应用于低阶时滞系统。因此，通过模型降阶（model order reduction, MOR）方法来简化高阶时滞系统的复杂性是一个重要的研究方向。

尽管针对非时滞系统的模型降阶技术已在过去几十年（如平衡截断法（balanced truncation））内取得了较大进展，但这些技术的延伸到时滞系统目前仍面临重大挑战。本文目标是针对这一现状提出一种新的降阶方法，以解决模型复杂性问题，并确保降阶后模型的稳定性与时滞特性同时得以保留。

研究方法与流程

方法概述

该研究提出了一种基于能量泛函（energy functionals）表征的降阶方法，该方法利用平衡截断法的思想扩展到具有时滞的系统，从而实现降阶的同时保留系统稳定性和结构特性。此外，该方法通过求解矩阵不等式分析了系统的可观性（observability）和可控性（controllability），并在降阶后提供了一个 a priori 误差界。

研究步骤

步骤1：问题陈述 文章首先构建了一般性时滞系统的数学描述： [ \omega : \begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + A_d x(t-\tau) + Bu(t),\ y(t) = Cx(t) + C_d x(t-\tau) + Du(t), \end{cases} ] 其中 ( x(t) )、( u(t) )、( y(t) ) 分别为状态变量、输入和输出。目标是对给定的系统 (\omega) 寻找一个降阶模型 (\hat{\omega})，其阶数为 (k < n)。

步骤2：能量泛函定义 定义了针对上述系统的可观性泛函 (L_o(\phi)) 和可控性泛函 (L_c(\phi))，这两个泛函分别反映系统的输出能量及为达到某一给定状态所需最小输入能量。

步骤3：近似泛函设计 考虑到直接求解可观性和可控性泛函的难度，研究通过 Lyapunov-Krasovskii 泛函的形式导出了可计算的延迟依赖泛函 (E_o) 和 (E_c)，并证明它们分别是 (L_o) 和 (L_c) 的上下界。

步骤4：部分平衡化 采用矩阵变换将系统矩阵 (A)、(A_d)、(B)、(C)、(C_d) 转换为部分平衡形式，在此基础上对较低贡献状态的削减（对应较小的奇异值）实现降阶。

步骤5：误差界分析 通过模型转换和状态截断后的能量泛函分析，导出了降阶模型的误差界： [ \epsilon = 2 \sum_{i=r+1}^q \sigma_i, ] 其中 (\sigma_i) 为系统状态奇异值。

主要发现与实验结果

本文的主要成果体现在以下几个方面：

1. 稳定性与结构保持： 降阶方法能够既保留原始系统的无穷维时滞特性，又确保降阶后的模型同样具有渐近稳定性。

2. 误差界更保守： 提出的延迟依赖方法相较延迟无关方法提供了更紧的误差界。数值结果表明小时滞的系统适合该方法，因为有更高降阶精度。

3. 仿真验证： 文中以高阶的钻井系统动态模型和交通系统模型为例，分别验证了延迟依赖方法的有效性与鲁棒性。

   • 对于钻井系统，降阶模型的频率响应函数与原始系统高度拟合，且误差界远小于传统方法。
   • 在交通系统的仿真中，该降阶方法克服了基于 Padé 近似的分解方法在处理高阶全秩 (A_d) 时的精度问题。

研究结论与意义

本文提出了一种创新的基于能量泛函的延迟依赖降阶方法，对高阶时滞系统具备以下贡献：

1. 科学价值：

   • 通过系统的延迟依赖特性扩展了已有理论框架，增强了降阶方法的适用性；
   • 为延迟微分方程的模型降阶问题提供了稳定性和误差的“双重保障”。

2. 工程应用价值：

   • 降低了复杂工程系统（如钻井系统）的计算复杂度，有助于分布式控制器的设计与实现；
   • 对交通系统等多变时滞系统的建模和仿真提供理论支持。

研究亮点

1. 跨方法的一体化设计：结合 Lyapunov-Krasovskii 泛函与平衡截断法。
2. 延迟依赖性误差估计：通过引入延迟依赖参数（e.g. ( \alpha_o ) 和 ( \alpha_c )），克服传统降阶方法在时滞变化情况下的保守性。
3. 可分析且鲁棒性强：新方法不仅适用于传统条件（例如，满足 Hurwitz 条件的 (A-A_d)），还解决了实际中可能不完全满足该条件的难题。

总结

该论文通过创新性地结合能量泛函与延迟依赖分析，突破了传统降阶方法的限制。其理论贡献表现在普适性和稳定性，实际应用潜力如高性能控制系统开发。未来，该方法可以扩展至非线性时滞系统或更广泛的分布参数系统。