本工作由Emil Annevelink、Harley T. Johnson和Elif Ertekin完成，三位研究者均来自伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校（University of Illinois at Urbana-Champaign），其中Harley T. Johnson同时隶属于材料科学与工程系，Elif Ertekin同时隶属于材料研究实验室。该研究于2020年9月17日投稿，2020年10月26日修订，2020年10月27日被接收，并于2020年11月12日发表于Physical Review B第102卷第184107号论文。

本研究属于二维材料力学与凝聚态物理的交叉领域，具体研究对象为双层石墨烯中由扭转（twist）和拉伸（stretch）形成的摩尔超晶格（moiré superlattice）。摩尔超晶格是当两层晶格相对旋转或相对拉伸时产生的周期性图案，这种结构会引发出与未畸变体系截然不同的电子性质。例如，双层石墨烯中的摩尔图案为研究超导性和关联电子物理提供了独特平台，而结构弛豫则决定了“魔角”扭转双层石墨烯中平带（flat band）是否出现。尽管已有连续介质模型被用于描述石墨烯及其他二维材料中的位错结构，但在建立层间位错与摩尔超晶格拓扑之间的严格等价性方面仍缺乏形式化处理。本研究的目标是发展一套基于拓扑约束的连续介质位错理论，以解析方式获得满足拓扑约束并使总能量最小化的结构畸变场和位移场。

研究方法的建立分为几个关键步骤。首先，作者将双层石墨烯层间位错的几何特征形式化。通过伯格斯回路（Burgers circuit）可以确定位错的伯格斯矢量（Burgers vector）和位错线方向（line direction），两者之间的夹角决定了位错的类型（刃型、螺型或混合型）。在三角晶格中，存在四种晶体学位错方向，分别对应0°、30°、60°和90°的位错感（sense）。由于石墨烯的双原子基元允许全位错分解为两个偏位错（partial dislocation），因此全位错很少被观察到，而偏位错将等效的AB和AC堆垛区域分隔开来。在此基础上，作者将扭转和拉伸摩尔超晶格分别识别为0°螺型偏位错和90°刃型偏位错的二维周期性网络。扭转摩尔超晶格对应于位错线彼此呈60°取向的偏螺型位错网络，而拉伸摩尔超晶格则对应于位错线结构相同但伯格斯矢量旋转了90°的偏刃型位错网络。

第二步是建立总能量表达式。体系总能量由两层各自的弹性应变能和一个界面能组成。弹性能通过将畸变张量表示为傅里叶级数并在摩尔超晶格单胞上积分得到，其形式为对倒格矢求和。界面能则采用类似Peierls-Nabarro模型的形式，将层间错排（disregistry）的能量表示为局域registry的二次型。局域registry需要采用折叠registry（mapped registry），即相对于最近AB或AC堆垛中心定义的registry，而不是从单一参考点定义的总registry。作者通过刚性滑移计算得到了平坦双层石墨烯的广义堆垛层错能，并用简谐形式拟合了临界点（AA、SP、AB），从而确定了界面能参数。

第三步是拓扑约束的建立与能量最小化。传统的体材料位错由Nye张量描述，其中包含一个δ函数导致弹性能发散。在本工作中，对于二维双层体系，作者将连续偏导数替换为两层之间的离散差分，并将δ函数约束替换为摩尔超晶格内部平均不相容性的约束。最终得到广义拓扑约束：摩尔超晶格单胞面积乘以两层畸变张量之差的平均值等于伯格斯矢量与位错线方向的外积。这一处理使得位错核心半径不再是预设的拟合参数，而是由层内弹性能和层间堆垛能之间的竞争自然涌现。能量最小化在倒空间中进行，拓扑约束只对g=0的傅里叶系数产生贡献。当约束为平坦时，最小弹性能通过两层均等分担拓扑约束实现。解被分为非齐次部分和齐次部分，齐次部分的自由度通过代数求解能量最小化条件确定。

在验证与比较方面，作者将位错形式化方法应用于一维和二维位错网络，并与经典势原子尺度模拟进行了对比。模拟使用LAMMPS软件，采用反应性键级势描述层内相互作用，采用registry-dependent Kolmogorov-Crespi势描述层间相互作用，并用FIRE算法进行几何弛豫。连续介质模型所需的参数——层内弹性常数和界面能系数——均从原子尺度计算中获得，未对原子模拟结果进行拟合。对于一维位错网络，四种偏位错（0°、30°、60°、90°）的线能量在原子模拟和位错模型之间呈现相同趋势，即随超胞尺寸增大而降低，并在约200 Å处收敛。最大偏差出现在小超胞区域，此时整个超胞远离AB/AC堆垛，线性展开不再适用；但在大超胞的孤立位错极限下，两种方法符合良好。在超胞长度为2500 Å时，30°和60°偏位错网络的位移场最大偏差仅为6%，小于0.1 Å。对于二维位错网络，扭转（0°）和拉伸（90°）摩尔图案的线能量在原子模拟和位错模型之间呈现高度一致，包括小超胞中位错-位错相互作用较强的区域。结构对比显示，对于摩尔波长约1080 Å的扭转和拉伸超晶格，最大偏差为10%，且集中在位错结（dislocation junction）处；位错线附近的偏差约为5%。

研究结果的应用部分展现了该模型的预测能力。对于结构随扭转角的变化，作者发现当扭转角大于2°时，AA和SP堆垛区域的相对大小近似相等且较大；当扭转角减小时，二者占比减小，AB/AC堆垛区域扩大。这一趋势可理解为拓扑约束的必然结果，即使超晶格尺寸增大，位错核心仍能完全弛豫。此外，通过改变层间距重新拟合界面能参数，作者研究了面外压缩对摩尔结构的影响。以魔角1.1°为例，压缩5%和10%会减小位错核心和结的相对尺寸，这一趋势与减小扭转角的效果类似，暗示压缩可能通过改变结构来调节魔角。在关于位错线张力和结能的应用中，作者计算了任意位错感角φ的线能量，发现可用仅含两个参数的线张力模型很好地近似。结能的计算表明，0°位错结具有负能量（约-28.7 eV），而90°位错结具有正能量（约62.2 eV），在约34°处存在交叉。这一发现与二维网络中0°和90°位错线能量随超胞尺寸呈现相反趋势的结果一致，表明0°位错结有利于位错之间的吸引，这可能是实验中观察到的非均匀摩尔超晶格的起源。

本研究的核心价值在于建立了一套无需预设解析形式的连续介质位错理论，该理论通过拓扑约束自然处理了二维位错网络的周期性、位错-位错相互作用以及位错核心结构的涌现。模型仅需从原子间势中导出的材料参数，就能以最大6%的结构偏差和最大0.019 eV/Å的线能量偏差再现原子尺度模拟结果，在计算效率上具有显著优势。该框架除了准确描述平坦双层石墨烯的层间位错外，还具有可扩展性：通过重新拟合界面能参数，可以研究面外压缩等外部条件的影响；通过与介观位错动力学方法结合，可以探索摩尔结构与外部应变场的相互作用；通过纳入更高阶界面能项，有望改进对小超胞中远离AB/AC堆垛区域的描述。这些特点使得该方法不仅为理解双层石墨烯中层间位错的拓扑本质提供了形式化基础，也为后续研究二维材料异质结中的位错网络、结构相变以及摩尔工程提供了实用而高效的理论工具。