关于垂直传热对开放浅矩形腔内热毛细对流影响的数值模拟研究报告

本研究由重庆大学动力工程学院低品位能源利用技术及系统教育部重点实验室的李友荣（通讯作者）、张红茹、吴春梅与华北电力大学北京新能源与可再生能源重点实验室的徐进良共同完成，其研究成果以题为《Effect of vertical heat transfer on thermocapillary convection in an open shallow rectangular cavity》的论文形式，于2011年8月7日在线发表于《Heat and Mass Transfer》期刊（2012年第48卷第241-251页）。

一、 学术背景与研究目标

本研究属于流体力学、传热传质学交叉领域，具体聚焦于微重力或小尺度条件下的表面张力驱动流动（即热毛细对流或Marangoni对流）。在晶体生长、薄膜涂层、空间流体管理等工业过程中，存在具有自由表面的液体层，其流动往往同时受到水平温差（驱动热毛细对流）和垂直热流（如底部加热或表面热损失）的耦合影响。尽管单独由水平温差或垂直温差驱动的对流稳定性已被广泛研究，但两者共同作用下的流动特性和失稳机制尚不清晰，尤其缺乏关于垂直热流如何影响热毛细对流稳定性与振荡特性的系统性认识。

因此，本研究的核心目标是：通过系统的数值模拟，深入探究在一个具有自由上表面的开放浅矩形腔内，当存在水平温差驱动热毛细对流的同时，底部施加垂直热流（模拟实际过程中的加热或冷却）对流动模式、稳定性临界条件以及振荡流态特征的影响。研究旨在揭示垂直传热与水平热毛细效应之间的耦合机制，为相关工程应用中的流动预测与控制提供理论依据。

二、 详细研究流程与方法

本研究主要采用计算流体力学（CFD）方法，通过有限体积法（Finite Volume Method）进行了一系列二维和三维数值模拟。整个工作流程可概括为以下几个关键步骤：

1. 物理与数学模型建立：

   • 研究对象： 一个长、深、宽分别为L、D、W的开放矩形腔体，腔内填充1cst硅油（Prandtl数 Pr = 13.9）。左、右侧壁分别维持恒定高温Th和低温Tc，形成水平温差ΔT。前、后侧壁假设为绝热。上表面为自由表面，与环境进行对流换热（对流换热系数h，定义了Biot数 Bi）。下表面为刚性壁面，施加均匀的垂直向上热流q（定义了无量纲热流Q）。研究重点参数包括：长深比（Aspect Ratio, Γ = L/D，范围12-30）、Marangoni数（Ma，表征水平温差驱动力的强度）、无量纲垂直热流Q（范围0-3.0）以及Biot数Bi（范围0-0.08）。
   • 控制方程与假设： 在Boussinesq近似下，建立了描述不可压缩牛顿流体质量、动量和能量守恒的无量纲控制方程组。关键假设包括：物性除表面张力和浮力项中的密度外为常数；流动为层流；自由表面变形可忽略；自由表面考虑热毛细应力（Marangoni效应），其他固体壁面为无滑移条件。
   • 边界条件： 明确了各边界（热壁、冷壁、绝热侧壁、加热底部、对流换热自由表面）的速度和温度条件。其中，自由表面边界条件包含了由温度梯度引起的切向应力（Marangoni条件）和牛顿冷却定律。

2. 数值求解与验证：

   • 离散方法与网格： 使用有限体积法对控制方程进行离散。扩散项采用中心差分，对流项采用二阶迎风格式。为平衡计算精度与效率，经过网格无关性验证（如表2所示），最终确定二维模拟采用400（x方向）× 100（z方向）的非均匀交错网格，三维模拟采用240（x）× 120（y）× 33（z）的网格。
   • 代码验证： 为确保数值方法的可靠性，研究团队将模拟结果（在Γ=30，Pr=13.9，自由表面和底部绝热条件下）与Riley和Neitzel的经典实验结果进行了对比。对比内容包括振荡流频率f、波长λ、波速c和传播角φ。如表3所示，三维模拟结果与实验数据高度吻合（如频率0.58 Hz vs. 0.57 Hz，传播角22.4° vs. 23.2°），二维模拟也给出了合理近似，且流动转变的临界Marangoni数误差小于3%，充分证明了所用数值模型和方法的准确性。

3. 模拟方案设计与执行：

   • 研究设计了系统的参数空间扫描。固定流体（1cst硅油）和Prandtl数，系统地改变长深比Γ、Marangoni数Ma、底部无量纲热流Q和Biot数Bi，进行大量算例计算。
   • 首先进行二维模拟，以较低计算成本全面探索参数空间，识别不同的稳态和振荡流态，并绘制流动模式转变图和稳定性边界图。
   • 针对关键参数点（特别是振荡流态，如热液波），进行三维模拟，以捕捉流动的三维特征（如热液波的倾斜传播），并与二维结果进行对比，评估二维模拟的适用性。

4. 数据分析与特征提取：

   • 通过后处理获取流函数、等温线、速度矢量、温度场等可视化结果，用以识别流动模式（如单涡胞、不对称双涡胞、多涡胞、热液波等）。
   • 对于稳态流，分析涡胞结构、旋转方向、强度以及温度场分布随参数（Q, Ma）的变化。
   • 对于振荡流，通过监测空间特定点的物理量（如温度、速度）随时间的变化，进行快速傅里叶变换（FFT）以获取振荡频率，并通过空间温度场的时序分析提取热液波的波长、波速和传播方向。
   • 综合所有算例结果，分析垂直热流Q对流动模式转变热流Qt、流动失稳临界Marangoni数Macrit的影响规律，并阐释其物理机制。

三、 主要研究结果

1. 垂直热流对稳态热毛细对流模式的影响：

   • 当底部热流Q=0（绝热）时，腔内形成单一顺时针旋转的大涡胞（流体从热壁沿自由表面流向冷壁，在底部返回）。
   • 随着Q增大，流动强度略有减弱，但保持单涡胞结构（图2b）。
   • 当Q超过一个转变值Qt时，流动模式发生突变，转变为不对称的双涡胞结构：冷壁附近是一个强大的顺时针旋转涡胞，热壁附近则出现一个较弱的逆时针旋转涡胞（图2c）。这是因为底部加热使得温度最高点从热壁面向腔内移动，在自由表面形成了方向相反的温度梯度区域。
   • 进一步增大Q，热壁附近的逆时针涡胞尺寸扩大，强度增强（图2d）。
   • 在高Marangoni数下，原本可能存在的稳定多涡胞结构，也会在Q增大时先转变为单涡胞，再转变为双涡胞（图3）。
   • 转变热流Qt的规律： Qt随Marangoni数Ma增大而增大（因为表面张力驱动增强，需要更强的底部加热才能改变流动结构），随长深比Γ增大而减小（浅长腔更易受垂直热流影响），随Biot数Bi增大而增大（自由表面散热增强，整体温度水平降低，削弱了底部加热的影响）。

2. 垂直热流对流动失稳临界条件的影响：

   • 图5展示了流动从稳态转变为振荡态（失稳）的临界Marangoni数Macrit随垂直热流Q的变化关系，这是本研究的重要发现。
   • 对于较大的长深比（如Γ=30, 24），Macrit随Q的变化呈现先升高后降低的非单调趋势。其物理机制是：小Q时，底部加热削弱了腔内固有的垂直温度梯度，起到了稳定流动的作用，故Macrit升高；当Q继续增大到一定程度，底部加热使热壁附近的温度边界层消失甚至逆转，冷壁附近的水平温度梯度急剧增大，导致流动驱动力增强，反而促进了失稳，故Macrit下降。
   • 对于较小的长深比（如Γ=12），浮力效应（Bond数较大）影响增强，垂直热流的稳定化作用占主导，Macrit随Q单调上升。

3. 垂直热流对振荡热毛细对流特征的影响：

   • 大长深比（Γ=30）下的热液波（Hydrothermal Wave）： 在绝热条件下（Q=0），失稳后出现典型的热液波，表现为一系列顺时针旋转的涡胞在主体回流内从冷壁向热壁传播（图6a）。小Q值对热液波结构和强度影响轻微（图6b）。当Q较大时，温度最高点移至腔内，导致自由表面上出现两个方向相反的温度梯度区域。此时，数值模拟首次观测到在热斑左右两侧分别产生、并向热斑汇聚的“两套热液波”（图6d，图9）。右侧（冷壁侧）波的传播角略有减小，左侧（热壁侧）波的传播角异常小（约8°），作者推测可能与传播空间受限及两套波的相互作用有关。
   • 小长深比（Γ=12）下的振荡多涡胞流： 失稳后并非形成传播的热液波，而是表现为振荡的多涡胞流（图7）。这种状态与浮力效应增强有关。小Q值对其影响较小，大Q值则会诱发类似大长深比情况的双涡胞结构。

4. 二维与三维模拟结果的对比：

   • 热液波状态： 三维模拟成功再现了热液波在自由表面上倾斜传播的特征（图8c），其传播角等参数与实验高度一致，而二维模拟无法捕捉此三维特征。然而，在子午面（x-z平面）上，三维与二维模拟得到的流场和温度场结构非常接近（比较图6a与图8a，图6d与图9a）。
   • 稳定多涡胞状态： 对于小长深比下的稳定多涡胞流（图10），三维模拟显示其在展向（y方向）是均匀的，侧壁影响很小，表明二维模拟足以描述此类流动的特征。

四、 研究结论

通过系统的数值研究，本文得出以下主要结论： 1. 垂直热流会显著改变稳态热毛细对流的结构。在低Marangoni数下，流动会从单涡胞模式转变为不对称的双涡胞模式；在高Marangoni数下，则会从多涡胞模式经单涡胞过渡为双涡胞模式。转变所需的热流值Qt随Ma和Bi数增大而增大，随长深比Γ增大而减小。 2. 垂直热流对热毛细对流稳定性的影响是非单调的。对于浅长腔体（大Γ），临界Marangoni数Macrit随底部热流Q先增加后减小，存在一个使流动最稳定的最佳热流值。这种非单调性源于垂直热流对腔内温度分布和梯度的双重影响。 3. 垂直热流会改变振荡流的形态。小热流对热液波影响不大。大热流导致温度最高点迁移，从而可能激发两套传播方向相对的热液波，这是本研究揭示的一个新现象。对于小长深比腔体，振荡表现为非传播的振荡多涡胞流。 4. 在子午面内，三维模拟得到的热毛细对流结构与二维模拟结果高度相似。对于热液波，需三维模拟以确定其传播方向；对于稳定的二维性强的流动，二维模拟即可满足研究需求。

五、 研究的价值与亮点

科学价值与应用意义： 本研究首次系统揭示了垂直方向传热与水平方向热毛细力耦合作用下，开放腔内对流流动的复杂动力学行为。明确了垂直热流不仅是改变稳态流场的参数，更是影响流动稳定性边界的关键因素，其非单调影响机制深化了对多物理场耦合失稳的理解。研究成果对精确预测和控制晶体生长液池、焊接熔池、空间流体装置等涉及自由表面和复杂热边界条件的流动与传热过程具有重要指导意义。

研究亮点： 1. 新颖的发现： 首次系统报道了垂直热流导致热毛细对流临界Marangoni数呈现先增后减的非单调变化规律，并给出了物理解释。 2. 新现象的揭示： 发现了在大垂直热流条件下，腔内出现“温度热斑”并导致两套热液波相对传播的新颖振荡流态。 3. 系统的参数研究： 全面考察了长深比、Marangoni数、垂直热流、Biot数等多个关键参数的影响，绘制了详细的流态转变图和稳定性图谱。 4. 方法的有效结合： 采用二维模拟进行广泛参数扫描，结合三维模拟对关键现象进行深入刻画和验证，提高了研究效率和可靠性。 5. 明确的指导性结论： 明确了二维与三维模拟在不同流态下的适用性，为后续相关研究的方法选择提供了参考。

六、 其他有价值的内容

研究中对物理模型的简化（如忽略自由表面变形、假设物性常数等）是合理的，使得能够聚焦于核心耦合机制。作者在讨论部分将观察到的稳定多涡胞流归因于浮力或长深比效应，并与前人研究进行了联系，体现了工作的延续性。此外，研究支撑数据（如网格验证表、与实验对比表）详实，增强了结果的可信度。文末对晶体生长等应用背景的呼应，凸显了工作的实际工程相关性。