本文由Chen Ning Yang（杨振宁）撰写，他是State University of New York（纽约州立大学）的物理学家。这篇论文最初收录于1987年出版的学术文集《Schrödinger Centenary Celebration of a Polymath》，由Cambridge University Press出版，后经授权转载于杨振宁的论文集。论文标题为《Square Root of Minus One, Complex Phases and Erwin Schrödinger》，主要探讨量子力学中复数相位的引入及其深远影响，尤其是薛定谔（Erwin Schrödinger）在波动力学发展中的关键作用。

论文主题与背景

本文从物理学史角度，系统梳理了复数（尤其是虚数单位i=√(-1)）如何成为量子力学基础概念的历程。经典物理学（1925年前）仅使用实数，复数仅作为计算工具。而矩阵力学（海森堡等）与波动力学（薛定谔）的出现，使得复数成为物理描述的核心要素，例如薛定谔方程中的虚数i，若被强行去除，方程将失去物理意义。

论文的核心关注点是量子力学发展中两个革命性概念的争论：非对易代数（noncommutative algebra）与概率幅（probability amplitude）的相位（phase）。通过对历史文献的考证，杨振宁指出，狄拉克（Dirac）晚年认为概率幅的相位（而非非对易性）才是量子力学的本质特征，因其解释了干涉现象，但其物理意义仍隐晦不明。

主要论点与论据

1. 复数在矩阵力学与波力学中的革命性引入

• 矩阵力学：海森堡1925年论文首次隐含使用复数傅里叶振幅，随后Born与Jordan的论文明确给出对易关系式（pq-qp=-iħ），虚数i首次以基础性角色进入物理学。
  
• 波动力学：薛定谔1926年的一系列论文起初试图用实数时空函数描述波函数，但最终被迫接受复数形式。杨振宁通过分析薛定谔与洛伦兹（Lorentz）的通信指出，薛定谔曾长期抗拒虚数i，甚至通过四阶方程（如(2.4)式）迂回消除i，直到1926年6月才完全接纳复数波函数。
  *论据*：引用了薛定谔原始论文中“取实部”的脚注（如方程(2.2)），及其信中“复数的使用令人不悦”的表述，证明其思想挣扎。

2. 薛定谔1922年论文的预见性

杨振宁通过拉曼（Raman）与福曼（Forman）的史料研究，揭示薛定谔1922年一篇被忽视的论文已提出将虚数i引入外尔（Weyl）规范理论（gauge theory），通过因子exp[-i∮A·dx/ħ]联系量子轨道与相位。这一工作直接启发了薛定谔后来接受德布罗意（de Broglie）的波粒二象性思想（1924年），并推动波动力学的创立。
*论据*：引用薛定谔1925年致爱因斯坦的信，承认其早期工作与德布罗意理论的关联，但称后者更“优雅且普适”。

3. 规范理论的现代发展

论文进一步指出，复数相位场的概念在1970年代后成为基本相互作用的描述框架：
- 所有基本力均为相位场（phase fields），与数学中的纤维丛（fibre bundles）理论对应。
- 杨振宁与吴大峻1975年提出的“词典”（表1）建立了规范场术语与纤维丛数学的映射，但“源”（sources）的数学描述长期空缺，后由1980年代微分几何研究填补。
*论据*：引用Freed-Uhlenbeck关于瞬子（instantons）的著作，说明物理学为数学提供了新视角。

论文的价值与意义

1. 科学史价值：通过原始信件与未发表手稿的考证，揭示了复数相位概念从抗拒到接纳的过程，还原了薛定谔思想转变的细节。
   
2. 理论物理意义：阐明复数相位是规范理论的核心，而量子力学的“概率幅相位”后来发展为现代场论的基石。
   
3. 跨学科影响：规范场与纤维丛的联系（如杨-米尔斯理论）推动了数学与物理的深度融合，例如瞬子理论对拓扑学的贡献。
   

亮点与独特视角

• 思想史方法：通过通信与论文修订记录，重构科学发现的“人本”过程（如薛定谔的“心结”）。
  
• 跨时间关联：将1922年的“被遗忘论文”与1926年波动力学的创立直接关联，填补历史空白。
  
• 术语翻译注解：规范理论中的术语“eichtheorie”保留为“gauge theory”（规范理论），数学概念“fibre bundle”译为“纤维丛”。
  

本文不仅是一篇科学史研究，更通过历史叙事揭示了理论物理学中“隐蔽性概念”（如虚数i）如何最终成为描述自然的必需工具。