本文介绍的是Marian Anghel、Federico Milano和Antonis Papachristodoulou三位学者于2013年9月在学术期刊《IEEE Transactions on Circuits and Systems—I: Regular Papers》第60卷第9期上发表的一篇原创研究论文，题为“Algorithmic Construction of Lyapunov Functions for Power System Stability Analysis”。这是一项针对经典电力系统模型，提出一种算法化构造李雅普诺夫（Lyapunov）函数以用于暂态稳定性分析的研究。
一、 研究作者、机构与发表信息 本研究的主要作者包括：Marian Anghel（就职于美国洛斯阿拉莫斯国家实验室CCS部门）、Federico Milano（IEEE高级会员，就职于西班牙卡斯蒂利亚-拉曼查大学电气工程系）和Antonis Papachristodoulou（IEEE会员，就职于英国牛津大学工程科学系）。论文于2012年7月20日收稿，历经多轮修改，最终于2013年8月26日在线发布。该研究得到了美国能源部、西班牙科学与创新部以及英国工程与物理科学研究理事会等多个机构的项目资助。
二、 研究的学术背景与目标 该研究隶属于电力系统稳定分析与非线性控制交叉领域。电力系统暂态稳定分析的目的是评估系统在经历大扰动（如故障）后，是否能恢复到稳定的运行点。传统方法主要依赖时域仿真，计算成本高昂，难以满足实时分析需求。因此，以李雅普诺夫函数和能量函数为代表的直接法（Direct Methods）备受关注。然而，这类方法在实际应用中面临两大根本性挑战：首先，对于包含传输电导（即有损）的电力系统，不存在解析的能量函数；其次，即便对于特定模型存在Lyapunov函数，也没有系统化的通用方法来自动构建，且现有方法通常依赖于“传输电导足够小”等强假设，限制了其适用性。
基于此背景，本研究旨在提出一种系统化的、算法化的方法，用于自动构造经典电力系统模型的Lyapunov函数，从而进行暂态稳定性分析和稳定域（Region of Attraction， ROA）估计。其核心目标是将控制理论中新兴的基于多项式正性和半定规划（Semi-definite Programming， SDP）的分析工具，尤其是平方和分解（Sum of Squares Decomposition， SOS）技术，创造性地应用于具有三角非线性特性的电力系统模型，克服传统直接法的局限。
三、 研究的详细工作流程 本研究的工作流程环环相扣，主要包括四个关键步骤：问题转化、模型重构、算法化稳定性分析与ROA估计，以及迭代优化。
第一步：问题转化——从非线性到多项式形式的系统重构（Recasting） 电力系统的经典模型由包含正弦和余弦项的微分方程（摆动方程）描述，本质上是一个非多项式向量场。而SOS和SDP工具直接适用于多项式系统。因此，研究首先采用一种“系统重构”技术，将原始的非多项式系统转化为等价的、但状态空间维度更高的多项式微分代数方程（Polynomial Differential Algebraic Equations）。 具体做法是引入新的状态变量。例如，对于角度变量δ_i，定义新变量x_i = sin(δ_i)， y_i = cos(δ_i)。利用三角函数恒等式sin^2 + cos^2 = 1，可以得到一个代数约束方程x_i^2 + y_i^2 = 1。通过链式法则，原始的含三角函数的微分方程可以转化为关于新变量（x_i, y_i）及其导数的多项式方程。这个过程将系统动态“嵌入”到一个更高维的多项式空间中的一个流形上。论文以两个具体模型（Model A：无传输电导的三机系统；Model B：有传输电导的两机对无穷大系统）为例，详细展示了重构后的多项式DAE方程和相应的等式约束。
第二步：理论基础与算法化分析框架建立 研究将Lyapunov稳定性定理的条件转化为适合算法化验证的形式。对于重构后的多项式DAE系统，稳定性条件要求在由代数等式约束定义的流形上，存在一个函数V(x)满足正定性和其沿系统轨迹的导数负定性。这些“在流形上的条件”本质上是带有等式和不等式约束的多项式非负性判定问题。 作者利用来自实代数几何的核心定理——正性斯特伦斯定理（Positivstellensatz， P-satz），将这些复杂的集合包含/空集条件，转化为寻找特定多项式（称为“P-satz证书”）的存在性问题。进一步，他们将多项式非负性这一计算上棘手的（NP-hard）问题，放宽为更易处理的平方和（SOS）条件。一个多项式是SOS意味着它可以写作多个多项式平方和，这是一个可以通过半定规划（SDP）高效求解的凸优化问题。 通过选择适当阶数的SOS多项式作为P-satz证书中的乘子，作者将寻找Lyapunov函数及其满足稳定性的区域这一非凸问题，转化为一个可由SDP求解的可行性问题或优化问题。研究中使用了MATLAB工具箱SOSTools（用于公式化SOS问题）和SeDuMi（用于求解SDP）。
第三步：局部Lyapunov函数构造与ROA初步估计 应用上述框架，研究首先对Model A和Model B分别进行了局部稳定性分析。通过求解一个SOS规划问题，自动搜索并找到了满足定理条件的多项式Lyapunov函数V(x)。例如，对于Model A，算法找到了一个4次多项式Lyapunov函数；对于Model B，找到了一个6次多项式Lyapunov函数。这验证了所提方法能够自动构造Lyapunov函数，即使对于不存在解析能量函数的Model B也是如此。 获得Lyapunov函数V(x)后，可以初步估计稳定平衡点的吸引域。对于一个给定的正定函数p(x)定义的区域D = {x: p(x) ≤ β}，通过最大化一个标量γ，使得水平集Ω = {x: V(x) ≤ γ}包含于D内，则Ω是ROA的一个子估计。这同样可以通过一个涉及SOS条件和P-satz的优化问题（结合对γ的二分搜索）来实现。然而，初步结果显示，这样得到的ROA估计非常保守（即远小于真实的稳定域）。
第四步：吸引域估计的迭代优化——扩展内点算法 为了改进初步得到的保守估计，研究设计并实现了一种名为“扩展内点算法”（Expanding Interior Algorithm）的迭代优化流程。该算法的核心思想不是固定一个区域D然后寻找其内的最大不变集，而是通过优化Lyapunov函数V(x)本身，来主动扩展一个被V(x)的某个水平集所包含的区域D。 算法流程包含内外两层迭代循环： 1. 内层循环（优化V和β）：固定一个用于定义区域的形状多项式p(x)，算法交替求解两个SOS子问题：a) 固定当前的Lyapunov函数V，寻找最大的β，使得区域D(β) = {x: p(x) ≤ β}包含在V的某个负定导数的区域内；b) 固定β，优化Lyapunov函数V的系数，以进一步扩大包含关系。这两个步骤迭代进行，直到β无法显著增大。 2. 外层循环（更新形状多项式p）：当内层循环收敛后，将当前得到的最优Lyapunov函数V(x)作为新的形状多项式p(x)，重新开始内层循环。这使得用于定义区域的形状p(x)能够不断适应并逼近最优Lyapunov函数的水平集形状，从而更精确地贴合真实的ROA边界。
该算法通过系统地搜索Lyapunov函数空间和区域大小参数，最终能够获得比传统能量函数方法（如最接近不稳定平衡点法Closest UEP）更好的ROA估计。
四、 研究的主要结果 对于Model A（无传输电导系统）： * 局部分析：成功构造出一个4次多项式Lyapunov函数，证明了系统原点的渐近稳定性。 * 优化后ROA：应用扩展内点算法后，得到了一个显著改进的ROA估计。如图4所示（论文中），算法得到的估计（深灰色区域）不仅远优于最接近UEP方法给出的估计，而且在局部与基于控制UEP（Controlling UEP）方法给出的估计相当甚至更优。重要的是，该算法完全避免了寻找控制UEP这一计算难题。
对于Model B（有传输电导系统）： * 局部分析：成功构造出一个6次多项式Lyapunov函数，这是该方法的关键优势体现，因为对该模型不存在解析能量函数。 * 优化后ROA：扩展内点算法构造的Lyapunov函数及其水平集，提供了一个对ROA的估计。与文献[23]中基于扩展拉萨尔不变原理（Extended LaSalle’s Invariance Principle）提出的解析Lyapunov函数的估计相比，本文算法得到的估计在大部分相空间区域表现更优（如图5所示，浅灰色区域为本文结果，深灰色区域为文献[23]结果）。论文指出，文献[23]的方法依赖于参数微调和小传输电导假设，而本文方法在理论上不受这些限制。
五、 研究的结论与价值 结论：本研究成功地提出并实现了一种基于SOS规划和SDP的算法化框架，用于自动构造经典电力系统模型的Lyapunov函数，并有效估计其稳定平衡点的吸引域。该方法不仅适用于无损耗系统，更重要的是能够处理具有传输电导（有损）的系统，且无需“小传输电导”或“小功角差”等传统方法所依赖的限制性假设。 科学价值： 1. 方法论创新：将计算代数几何中的P-satz定理和凸优化中的SOS/SDP工具系统性地引入电力系统暂态稳定分析领域，提供了一种具有数学保证的、可自动执行的构造性方法。 2. 突破传统限制：解决了有损系统缺乏解析能量函数下的Lyapunov函数构造难题，扩展了直接法的应用范围。 3. 提供性能更优的估计：所提出的扩展内点算法能够获得比传统最接近UEP方法更精确、比控制UEP方法更易计算的ROA估计。 应用价值：该框架为电力系统在线暂态稳定评估提供了新的理论工具。虽然目前受限于计算复杂度，直接应用于大规模系统尚有困难，但为未来结合降阶、分解或聚合技术以处理大系统指明了方向。
六、 研究的亮点 1. 开创性应用：首次将SOS规划和P-satz定理系统应用于电力系统暂态稳定分析，是控制理论先进工具与电力工程经典问题的一次成功且深刻的交叉融合。 2. 解决核心难题：成功为具有传输电导的电力系统模型算法化地构造Lyapunov函数，攻克了该领域长期存在的挑战。 3. 完整的算法体系：不仅提供了局部Lyapunov函数的构造方法，还设计了精巧的迭代优化算法（扩展内点算法）来最大化ROA估计，形成了从理论到实用化估计的完整流程。 4. 无限制性假设：与同期多数研究不同，本方法不要求传输电导足够小，具有更广泛的潜在适用性。
七、 其他有价值的内容 论文在讨论部分展望了未来的研究方向，包括将该方法推广至网络保留模型（Network-Preserving Models）、考虑参数不确定性、以及应对大规模系统带来的计算挑战。作者指出，可以尝试利用系统的互联结构，通过分解技术或聚类聚合方法来降低问题维度，这为后续研究提供了清晰的路线图。此外，附录部分对SOS分解和P-satz定理进行了简明扼要的教程式介绍，增强了论文的自含性和可读性。