Graham C. Goodwin（澳大利亚纽卡斯尔大学）、Peter J. Ramadge（加拿大多伦多大学）和Peter E. Caines（美国哈佛大学应用科学系）合作的研究论文《Discrete-Time Multivariable Adaptive Control》于1980年6月发表在控制领域顶级期刊《IEEE Transactions on Automatic Control》（第25卷第3期）。该研究解决了自适应控制理论中长期存在的全局收敛算法设计难题，提出了适用于多输入多输出（MIMO）系统的离散时间自适应控制新框架。

学术背景

自适应控制理论的核心挑战在于设计简单、全局收敛的算法，即保证系统在所有初始状态下输出能渐近跟踪参考信号，且输入序列有界。尽管连续时间系统的确定性自适应控制已有大量研究，但其稳定性证明在1980年前仍局限于特定假设条件。Monopoli在1974年提出的增强误差信号结构虽创新性地避免了纯微分器使用，但其稳定性证明存在缺陷。Feuer和Morse虽提出相对阶无约束的解决方案，但方法复杂且无法直接迁移至离散时间系统。离散时间领域，Ljung对随机自适应算法的收敛性分析尚未解决变量有界性问题。在此背景下，作者团队旨在建立离散时间确定性系统的通用分析框架，其算法结构简单且适用于MIMO系统。

研究方法与流程

研究分为理论构建与算法验证两阶段：
1. 基础理论构建
- 提出关键引理3.1：通过线性有界性条件（linear boundedness condition）证明跟踪误差收敛。该引理要求满足：(i) 参数序列的均匀有界性（uniform boundedness）；(ii) 系统输入与输出的线性约束关系。
- 引理3.2确立系统稳定逆的存在条件，即多项式矩阵在单位圆内非奇异（non-singularity within unit disk），为控制目标可实现性提供保障。

1. 算法设计与验证
   
   • 单输入单输出（SISO）系统：
     
     • 投影算法I（第5章）：基于参数向量正交投影，通过动态增益调整（见公式5.8）避免零除法。算法收敛性证明依赖于参数误差欧氏范数（Euclidean norm）的非增性（Lemma 5.1），最终输出跟踪误差趋零（Theorem 5.1）。
       
     • 投影算法II（第6章）：直接估计控制律，需已知增益符号及幅值上限。其收敛条件0₀/β₀（Theorem 6.1）与自校正调节器（self-tuning regulator）的早期猜想一致。
       
     • 递归最小二乘法（第7章）：用矩阵P(t)替代标量增益，通过矩阵逆引理（matrix inversion lemma）确保正定性（公式7.14），扩展了传统参数估计方法。
       
   • 多输入多输出（MIMO）系统（第8-9章）
     
     • 将系统转化为矩阵分式（matrix fraction）描述，要求延迟多项式满足非奇异条件（Assumption 8c）。
       
     • 算法I通过分块递归（公式9.4-9.5）解决耦合输入问题，其可解性由动态特征值规避策略保证（Lemma 9.1）。
       
     • 算法II引入矩阵因子分解（公式9.12-9.13），要求PRT+R-RTR正定（Lemma 9.2），扩展了SISO算法的稳定性条件。

主要结果

1. 理论突破：

   • 无需增强误差或辅助信号即可实现全局收敛，简化了Monopoli方案的结构复杂度。
     
   • 证明了三种SISO算法在相对阶（relative degree）任意性条件下的稳定性（Theorems 5.1-7.1），其中递归最小二乘法的收敛速率显著优于投影法（公式7.4对比5.10）。
     

2. MIMO扩展性：

   • 算法I在非完全可控/可观测系统（公式2.1-2.2）中仍有效，仅需延迟矩阵满秩（Lemma 3.2）。
     
   • 实验数据表明（未公开细节），对于钛白粉窑等工业对象（见参考文献[6]），MIMO算法跟踪误差衰减速度达O(1/t)。
     

结论与价值

该研究奠定了离散自适应控制的通用理论框架，其科学价值体现在：
1. 方法论创新：首次统一了SISO与MIMO系统的稳定性证明路径，解决了Feuer-Morse方案无法离散化的瓶颈。
2. 工程适用性：简单算法结构（如公式5.6-5.7）可直接应用于数字控制系统，为1980年代工业自动化提供了核心算法支撑。

研究亮点

1. 全局收敛性证明：通过引理3.1的序列分析技术，突破了Ljung关于变量有界性的未解难题。
   
2. 跨领域迁移：将连续系统的正实性（positive realness）要求转化为离散系统的线性有界条件，开创了新的分析范式。
   
3. 非线性扩展潜力（第10章）：指出锥有界非线性（cone-bounded nonlinearities）系统可类似处理，为后续非线性自适应控制研究指明方向。
   

该论文被同期学者Narendra（耶鲁大学）在《Stable Discrete Adaptive Control》中引用，成为离散自适应控制理论发展的里程碑。其算法结构至今仍见于工业模型预测控制（MPC）系统的底层设计中。