一项关于构网型与跟网型并联系统暂态稳定性的改进SOS规划方法研究学术报告

本研究由来自四川大学的Zhongrui Qiu、Yang Wang（IEEE高级会员）、Xianyong Xiao（IEEE高级会员），清华大学（电力系统及发电设备控制和仿真国家重点实验室）的Xiaorong Xie（IEEE会士）以及西班牙加泰罗尼亚理工大学的Oriol Gomis-Bellmunt（IEEE会士）共同完成。该研究以题为《Transient Stability Analysis of Grid Forming-Grid Following Paralleled System Using Improved Sum-of-Squares Programming》的论文形式，发表于IEEE Transactions on Power Delivery期刊，卷40，第6期，2025年12月号。论文于2025年4月19日接收，并于2025年9月17日在线发表。

学术背景与研究目的

本研究隶属于电力系统及电力电子领域，核心关注高比例可再生能源并网背景下电力电子变换器系统的暂态稳定问题。随着全球碳减排目标的推进，电压源型变换器（VSC）已成为风电、光伏等可再生能源并网的主要接口。目前，大多数VSC采用跟网型（Grid-Following, GFL）控制，依赖锁相环（PLL）实现与电网同步。然而，在弱电网或故障等大扰动条件下，PLL易于引发同步失稳。为应对此挑战，能够模拟同步发电机（SG）行为并提供惯量和频率支撑的构网型（Grid-Forming, GFM）控制获得了广泛关注。鉴于GFM与GFL控制的互补性，现代电力系统正朝着两者并存的混合架构演进。

当GFM与GFL变换器并联运行时，不同控制策略间的动态交互可能影响系统稳定性。现有研究在线性化模型基础上，已发展出相对成熟的小信号稳定性分析方法。然而，在短路、甩负荷等大扰动下，系统状态会显著偏离平衡点，线性化模型无法准确刻画非线性动态响应，因此需要计及系统非线性的暂态稳定性评估。相比于单一GFM或GFL系统，GFM-GFL并联系统具有更高阶动态、强非线性和功率耦合特性，其暂态稳定性分析更为复杂。现有方法如反向轨迹法、解析约束法、改进等面积准则（EAC）等，虽取得一定进展，但均未能构造吸引域（Domain of Attraction, DoA），因而无法为变化运行场景提供定量的暂态稳定性评估。

基于李雅普诺夫（Lyapunov）直接法构造DoA是一种有效的非线性稳定分析方法。传统方法中，基于同步发电机能量函数拓展的解析法（如考虑阻尼的能量函数）通常模型简化程度高（如将GFL视为理想电流源），或仅限于类同步机的二阶模型，难以获得适用于高阶系统的通用李雅普诺夫函数。数值方法如T–S模糊模型法、神经网络（NN）法和平方和（Sum-of-Squares, SOS）规划法各有优劣：T–S法计算高效但限于二次型Lyapunov函数，估计的DoA保守性较高；NN法非线性刻画能力强，但面临激活函数选择、网络结构设计和超参数调优的挑战；SOS规划法则基于Lyapunov稳定性判据和SOS约束构造多项式形式的Lyapunov函数，其形式不受二次型限制，并能通过优化扩展DoA，具有保守性低的潜力。然而，现有SOS方法的性能对参数设置高度敏感，且在GFM-GFL并联系统中的有效性尚未得到验证。

因此，本研究旨在沿SOS研究方向，提出一种保守性更低、计算效率更高的改进SOS规划技术，并将其应用于GFM-GFL并联系统的暂态稳定性分析中。通过与现有多种数值方法进行比较研究，验证所提方法的优越性，并利用DoA体积作为量化指标，系统分析关键参数对系统暂态稳定性的影响，为系统参数设计和运行提供理论指导。

详细研究流程

本研究遵循一个完整的研究闭环，主要包括四个核心步骤：系统建模、算法提出、比较验证和参数影响分析。

第一步：GFM-GFL并联系统的四阶暂态建模。 研究首先构建了能够反映GFM-GFL并联系统核心动态的数学模型。研究对象为图1所示的典型系统结构，其中GFL控制的可再生能源（如光伏、风电）与GFM控制的储能系统并联，共同接入弱电网。为聚焦于暂态稳定分析（关注GFM的功率控制动态和GFL的PLL动态），研究基于文献中常见的合理假设对模型进行了简化：1) 忽略直流侧动态，简化为恒定电压源；2) 在严重故障触发低压穿越时，忽略GFL的外环控制，直接给定其电流参考值id0和iq0；3) 由于内环控制响应远快于GFM的外环功率控制和GFL的PLL动态，忽略内环动态，假设vgfm = egfm, igfl_d = id0, igfl_q = iq0。 基于此，GFM变换器被等效为幅值egfm和相角δgfm表征的受控电压源，GFL变换器被等效为幅值igfl和相角δgfl + φi（φi为电流角）表征的受控电流源。通过电路分析，推导出GFM的有功功率pgfm、无功功率qgfm的表达式（式3）以及GFL端电压的q轴分量vgfl_q的表达式（式8）。将qgfm表达式代入GFM控制方程（式1），得到egfm关于状态变量的显式表达式（式5）。最终，将各表达式联立，得到描述系统动态的四阶微分方程组（附录A中的式a3和a4），状态变量为GFM的功率角δgfm、角速度ωgfm以及GFL的功率角δgfl、角速度ωgfl。该模型在附录表IV给出的参数下，通过MATLAB/Simulink全阶模型仿真验证了其准确性（如图4所示），证明其能有效捕捉功率角的核心暂态响应。

第二步：提出基于改进SOS规划的DoA估计方法。 这是本研究的核心创新环节，旨在为非线性自治系统（式10）构造保守性更低、计算更快的Lyapunov函数及其DoA。研究流程基于SOS优化框架展开，并进行了两项关键改进。

• SOS优化问题构建： 对于一个平衡点xe = 0稳定的系统，目标是找到一个Lyapunov函数L(x)和一个最大的水平集值c，使得水平集Ωc = {x | L(x) ≤ c}是DoA的一个子集。为最大化Ωc，引入一个正定多项式形状函数e(x)，并构造参数化区域Ωβ = {x | e(x) ≤ β}。优化目标是在约束Ωβ ⊆ Ωc ⊆ Ω_dL (其中Ω_dL = {x | ∇L(x)·f(x) < 0})下，最大化β。利用Positivstellensatz定理和松弛技巧，将上述集合包含约束转化为可处理的SOS约束，形成标准SOS优化问题（式13）。

• 原始求解方法与改进：

  1. 原始交替优化法： 标准问题（式13）包含双线性项，无法直接用SOS规划求解。文献[22]采用交替优化，将求解分为三个阶段循环迭代：max-c阶段（固定L(x)和β，最大化c）、max-β阶段（固定L(x)和c，最大化β）和Lyapunov函数求解阶段（固定乘子多项式，求解L(x)）。
  2. 改进一：简化SOS约束。 本研究通过分析各阶段优化目标与约束的逻辑关系，移除了不影响目标函数取值的冗余约束。在max-c阶段，移除了与Ωβ ⊆ Ωc对应的第一个SOS约束（式17）；在max-β阶段，移除了与Ωc ⊆ Ω_dL对应的第二个SOS约束（式18）。这一简化显著降低了每个优化子问题的复杂度，从而提高了整体计算效率。
  3. 改进二：自适应参数整定算法。 SOS优化中多项式的次数（如deg(L), deg(u1), deg(u2), deg(u3)）和正定性约束参数（α1, α2）的设置严重影响DoA估计的保守性。为此，本研究提出了一种以最大化DoA体积为目标的自适应参数整定算法（算法1）。该算法嵌入在主优化循环（算法2）中。主要逻辑为：首先，通过采样验证当前估计的DoA（Ω_cmax）是否完全位于真实DoA内（即检查是否存在x ∈ Ω_cmax 使得 ∇L(x)·f(x) > 0）。如果否，则通过增大α1或α2来加强正定性约束；如果是，则尝试通过降低α1/α2（放松约束）、或按优先级增加乘子多项式u2、u3、u1的次数、最后增加Lyapunov函数L(x)的次数，来探索更优（更不保守）的参数组合，以期获得更大的DoA体积。体积计算针对二次型和非二次型L(x)分别采用公式（19）和基于SMR矩阵的近似公式（20）。算法迭代直到DoA体积的相对变化小于预设阈值。

第三步：与现有方法的比较研究。 为充分验证所提改进SOS方法的优势，研究设计了系统的对比实验。比较对象包括：1）文献[22]的经典SOS方法；2）文献[17]的T–S模糊模型法；3）文献[18]和[19]的神经网络（NN）法。研究场景选择了三个代表性系统模型：独立的GFM系统（模型A）、独立的GFL系统（模型B）以及GFM-GFL并联系统（模型C）。系统动态方程和参数详见附录A。 * 保守性比较： 通过时域仿真确定参考的稳定与不稳定区域，并绘制由各方法估计的DoA。对于四维的模型C，通过设定x1=x2=0和x3=x4=0分别投影到GFL和GFM的子空间进行可视化比较（图6）。结果表明，在所有三个模型中，所提方法获得的DoA面积/体积最大，保守性最低。表II提供了DoA体积的定量对比，显示所提方法相比现有方法有显著提升（体积增大幅度在表中以百分比列出）。 * 计算效率比较： 表III记录了各方法构造Lyapunov函数和DoA的计算时间。结果显示：NN方法由于网络结构复杂且验证条件严格，计算成本最高（模型C甚至未在500小时内收敛）；T–S法仅需求解线性矩阵不等式，速度最快；文献[22]的经典SOS法因交替迭代计算，耗时较长。而所提的改进SOS方法，得益于约束简化，计算时间比经典SOS方法减少了约50%，在计算效率与保守性之间取得了最佳平衡。

第四步：关键参数对暂态稳定性的影响分析。 利用所提方法生成的DoA及其体积作为定量指标，系统研究了GFM-GFL并联系统中关键参数对暂态稳定性的影响。为验证分析结果，同时在MATLAB/Simulink中建立了全阶模型，采用电网电压永久性跌落（从1 p.u.跌至0.1 p.u.）的故障场景进行时域仿真验证。 研究分析了以下几类参数（参数变化范围详见原文图示）： 1. GFM参数： 虚拟惯性J（增大）、阻尼系数d（减小）、有功功率参考值P0（增大）、无功功率参考值Q0（减小）均会导致DoA体积减小，即降低暂态稳定性。仿真结果（图8-12）与DoA分析结论一致，例如J过大或d过小均会导致系统失稳。 2. GFL参数： 电流参考值id0和iq0（增大）均会导致DoA体积减小，不利于暂态稳定性。仿真结果（图14-15）证实了该分析。 3. 线路阻抗： 增大GFM侧阻抗Zgfm或GFL侧阻抗Zgfl会限制变换器功率传输能力，导致DoA体积减小，损害暂态稳定性。仿真结果（图17-18）验证了该结论。

主要研究结果

1. 模型验证结果： 建立的四阶降阶暂态模型（忽略内环动态）的功率角动态响应与MATLAB/Simulink全阶仿真结果高度吻合（图4），验证了该模型用于暂态稳定性核心机理分析的适用性。
2. 算法性能结果：
   • 保守性方面： 在模型A、B、C上，所提改进SOS方法估计的DoA均全面包围（且面积/体积大于）其他对比方法（T–S, NN, 经典SOS）的估计结果（图6），且完全位于由时域仿真确定的真实稳定区域内，同时与∇L·f > 0的区域无交集，满足了DoA的定义。定量数据显示其DoA体积相比现有方法有显著提升（表II）。
   • 计算效率方面： 所提方法在保持最低保守性的同时，计算时间约为经典SOS方法的一半（表III），显著优于计算耗时的NN方法。
3. 参数分析结果： DoA体积作为量化指标，清晰揭示了各参数对暂态稳定性的影响趋势和敏感度。分析表明，增大GFM的虚拟惯性、有功出力、线路阻抗，以及增大GFL的电流输出和线路阻抗，均会恶化系统暂态稳定性；而增大GFM的阻尼系数和无功出力则有利于稳定性提升。所有分析结论均得到了对应参数下的时域仿真验证（图8-18），证明了DoA体积作为稳定性评估指标的有效性和实用性。

这些结果逻辑上环环相扣：准确的降阶模型是后续稳定性分析的基础；改进的SOS算法是获得高精度、高效率DoA估计的关键工具；通过对比研究验证了该工具的优越性；最后，利用这个优越的工具（DoA体积）对系统参数进行了深入、定量的影响分析，得出了具有指导意义的结论。

研究结论与意义

本研究的核心结论如下： 1. 方法学贡献： 提出了一种改进的SOS规划方法。通过简化优化约束，计算效率较传统SOS方法提升约50%；通过引入基于DoA体积的自适应参数整定策略，显著降低了DoA估计的保守性。 2. 对比优势： 与T–S法、NN法及经典SOS法相比，所提方法在GFM-GFL并联系统及相关子系统中，均能获得保守性最低的DoA估计。 3. 工程洞见： 利用DoA体积的定量分析，明确了影响GFM-GFL并联系统暂态稳定性的关键参数及其影响方向。这为含高比例电力电子设备的混合电力系统的参数设计、稳定运行和控制策略优化提供了直接的理论依据。

科学价值与应用价值： * 科学价值： 推动了非线性系统稳定性分析中数值Lyapunov函数构造方法的发展。所提出的自适应参数整定框架为解决SOS方法参数敏感性问题提供了新思路，简化约束的策略也为优化计算效率提供了有效途径。 * 应用价值： 为电力系统工程师提供了一套高效、精确的量化工具，用于评估复杂电力电子接入系统的暂态稳定裕度，并识别系统稳定性的薄弱环节和关键影响参数。这对于未来以新能源为主体的新型电力系统的规划、运行和安全防御具有重要的实践指导意义。

研究亮点

1. 方法创新性强： 本研究并非简单应用现有SOS方法，而是针对其计算复杂和参数敏感两大痛点，提出了“约束简化”和“自适应参数整定”两项实质性改进，形成了性能显著提升的改进SOS算法。
2. 验证体系完整： 研究不仅与多种前沿数值方法（T–S, NN, SOS）进行了横向对比，还通过时域仿真验证了模型和分析结果的正确性，构成了从方法提出、性能验证到应用分析的完整研究链条。
3. 分析视角定量化： 创造性地将DoA体积作为系统暂态稳定性的量化评价指标，用于参数灵敏度分析，使得稳定性评估从传统的“稳定/不稳定”二元判断，推进到“稳定程度如何量化比较”的层次，分析结论更为精细和可靠。
4. 问题导向明确： 聚焦于高比例可再生能源电力系统中GFM与GFL并联这一前沿且具有挑战性的具体工程问题，研究成果具有明确的现实针对性和应用前景。

其他有价值内容

论文在讨论部分还指出，所提方法相较于时域仿真具有两大优势：1) DoA体积能直接定量表征参数变化对稳定性的影响，而仿真只能通过观察波形间接判断；2) 该方法能快速解析地确定稳定性，计算负担远低于需要反复数值积分的仿真方法，并且有利于高效估计临界切除时间（CCT）。同时，作者探讨了所提方法向更大型系统或考虑限幅等约束的切换系统扩展的可行性和挑战，为后续研究指明了方向。