本文档属于类型a，即报告了一项原创性研究。以下是针对该研究的学术报告：

非线性参考轨迹跟踪的鲁棒模型预测控制方法研究

作者及机构
本研究由来自罗马尼亚布加勒斯特理工大学的Iulia Rădulescu与罗马尼亚科学院的Marius Rădulescu合作完成，发表于2025年的*International Journal of Systems Science*（第56卷第11期，页码2703–2716）。

学术背景

研究领域与动机
该研究属于控制理论与工程应用领域，聚焦于非线性系统的参考轨迹跟踪问题。传统模型预测控制（MPC, Model Predictive Control）在多变量系统控制和约束处理中表现优异，但其经典形式未充分考虑系统不确定性和扰动，导致在非线性场景下性能受限。为此，作者提出了一种无需计算全部线性化模型的鲁棒MPC方法，旨在解决非线性系统在存在多面体扰动（polytopic disturbances）时的跟踪控制问题。

理论基础
1. 泰勒线性化（Taylor linearisation）：通过局部线性化将非线性系统转化为线性差分包含（PLDI, Polytopic Linear Difference Inclusion）描述。
2. 鲁棒MPC框架：基于线性矩阵不等式（LMI, Linear Matrix Inequality）优化，确保系统在扰动下的稳定性。
3. 凸组合（convex combination）：通过已知线性化模型的凸组合表达未知模型，减少计算负担。

研究目标
开发一种高效的非线性参考跟踪控制算法，避免传统方法中需计算全部线性化模型的缺陷，并通过凸组合和鲁棒MPC提升控制性能。

研究流程与方法

1. 非线性系统的PLDI描述
- 步骤1：对连续时间非线性系统（如无人机模型）进行离散化，采用欧拉显式方法（Euler explicit method）和泰勒一阶线性化，得到局部线性模型。
- 步骤2：在参考轨迹上选择关键点（如周期性参考的极值点），仅计算这些点的线性化模型（如状态矩阵(A{dj{vs}})、输入矩阵(B{dj{vs}})和扰动项(f{dj{vs}})）。
- 步骤3：通过凸组合（式5）表达其他未计算点的模型参数，例如：
[ A_{dj} = \lambdaj A{dj_{vs}} + (1-\lambdaj) A{dj_{v(s+1)}} ]
其中(\lambda_j \in [0,1])，关键点间隔通过三角函数特性（如正弦函数的(\pi/2)倍数）确定。

2. 鲁棒MPC设计
- 优化问题：通过LMI约束（式15-17）求解控制律，最小化性能指标的上界(\gamma_k)，确保输入约束（如(|u_d|2 \leq u{\text{max}})）和稳定性条件（式10）。
- 创新性：传统鲁棒MPC需为多面体每个顶点设计LMI，而本方法仅需为两个相邻顶点的凸组合设计LMI，显著降低计算复杂度。

3. 仿真验证
- 对象：无人机模型（式38），状态为位置和偏航角，输入为速度和滚转角。
- 参考轨迹：螺旋线轨迹（式42），通过微分平坦性（differential flatness）生成参考输入。
- 对比方法：与Prodan等（2013）的线性化MPC方法对比，评估跟踪误差范数（如(|\varepsilon_{x1}|_2)）。

主要结果

1. 跟踪性能

   • 在无扰动情况下，状态和输入误差范数均低于对比方法（如(x_1)误差：2.6142 vs 11.5469）。
     
   • 在风扰动（式44）下，仍能保持稳定跟踪（图10-17），验证了鲁棒性。
     

2. 计算效率

   • 仅需计算关键点的线性化模型（如(n_v=5)个点），其余通过凸组合表达，避免了传统方法中大量模型的显式计算。
     

3. 理论贡献

   • 证明了控制律的渐近稳定性（定理3.2），并通过不变椭球（式26）保证约束满足性。
     

结论与价值

科学价值
1. 提出了一种新型非线性参考跟踪框架，将泰勒线性化、凸组合和鲁棒MPC结合，为非线性控制提供了新思路。
2. 通过LMI优化和凸组合降低了计算复杂度，适用于实时性要求高的场景（如无人机控制）。

应用价值
1. 在无人机轨迹跟踪中表现出优越性能，尤其在存在风扰动时仍能保持高精度。
2. 方法可扩展至其他非线性系统（如化工过程、机器人），前提是系统满足特定假设（如状态变量的仿射性）。

研究亮点

1. 方法创新：首次将凸组合引入鲁棒MPC，避免全部线性化模型的计算。
   
2. 性能优势：在仿真中显著降低跟踪误差（尤其对比Prodan等的方法）。
   
3. 理论严谨性：通过LMI和不变集理论严格证明稳定性，支撑了算法的可靠性。
   

局限性
- 依赖参考轨迹的特定结构（如周期性），且LMI求解可能增加实时计算负担。

其他有价值内容

• 风扰动模型（式44）采用余弦过渡函数，更贴近实际风场变化。
  
• 开源工具链：使用YALMIP工具箱和SeDuMi求解器实现算法，便于复现。
  

（报告字数：约2000字）