《数值算法的精度与稳定性》第二版是由Nicholas J. Higham所著的权威学术著作，由Society for Industrial and Applied Mathematics（SIAM）于2002年出版。该书是数值分析领域的重要参考书，特别关注有限精度算术对数值算法的影响，尤其是数值线性代数中的算法。

作者与出版信息

• 作者: Nicholas J. Higham，来自英国曼彻斯特大学（University of Manchester）。
• 出版机构: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)。
• 出版时间: 2002年。

学术背景

本书属于数值分析领域，特别是有限精度计算和数值线性代数的研究范畴。随着计算机科学的快速发展，数值算法在科学计算和工程应用中扮演着核心角色。然而，由于计算机算术的有限精度特性，数值算法的精度和稳定性成为关键问题。Higham的著作旨在系统性地分析这些问题，为研究人员和工程师提供理论工具和实践指导。

本书的第二版在第一版的基础上进行了全面更新和扩展，反映了近七年来的研究进展。其目标是为读者提供关于数值算法在有限精度算术中行为的深入理解，并帮助开发高精度、高稳定性的算法。

主要内容与结构

本书分为28章，涵盖了从基础理论到高级应用的广泛内容。以下是各部分的简要概述：

1. 有限精度计算的基本原则（第1章）

   • 介绍了有限精度算术中的基本概念，如相对误差（relative error）、有效数字（significant digits）、误差来源（如舍入误差、数据不确定性和截断误差）以及向后误差（backward error）和向前误差（forward error）的分析方法。
   • 通过经典例子（如二次方程求解、样本方差计算）说明精度问题的实际影响。

2. 浮点算术（第2章）

   • 详细讨论了浮点数系统（floating point number system）、IEEE算术标准（IEEE arithmetic）及其异常处理机制。
   • 介绍了融合乘加操作（fused multiply-add operation）等现代算术特性。

3. 基础理论与误差分析（第3-6章）

   • 包括内积与外积（inner and outer products）、范数（norms）、矩阵条件数（condition number）以及奇异值分解（singular value decomposition, SVD）等内容。
   • 强调了误差分析的统一框架，并引入了符号“γₙ”简化表达。

4. 线性系统的扰动理论与求解（第7-14章）

   • 分析了线性系统的扰动理论（perturbation theory），包括范数分析和分量分析。
   • 详细讨论了三角系统（triangular systems）、LU分解（LU factorization）、Cholesky分解（Cholesky factorization）以及矩阵求逆（matrix inversion）的误差界限和稳定性。

5. 特殊矩阵与迭代方法（第15-21章）

   • 包括对称不定系统（symmetric indefinite systems）、迭代细化（iterative refinement）、最小二乘问题（least squares problem）以及欠定系统（underdetermined systems）的数值方法。
   • 特别关注了Vandermonde系统（Vandermonde systems）和快速矩阵乘法（fast matrix multiplication）的误差分析。

6. 非线性系统与高级主题（第22-28章）

   • 涵盖了快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）、牛顿法（Newton’s method）以及自动误差分析（automatic error analysis）等内容。
   • 最后一章（第28章）提供了测试矩阵库（test matrices）的详细介绍，便于读者验证算法。

主要亮点

1. 全面性与深度

   • 本书不仅覆盖了经典的数值线性代数问题（如线性系统求解、矩阵分解），还深入探讨了现代计算中的关键问题（如快速算法、迭代方法的稳定性）。
   • 新增的第二版内容（如对称不定系统的块LDLᵀ分解、加权最小二乘问题）反映了研究前沿。

2. 理论与实践的平衡

   • 书中既包含严格的数学分析（如向后误差的扰动理论），也提供了实际应用的指导（如如何避免舍入误差的灾难性累积）。
   • 通过大量数值实验（使用MATLAB）验证理论结果。

3. 新颖的研究成果

   • 例如，书中提出了改进的LU分解误差界限，证明了对于行对角占优矩阵（row diagonally dominant matrices），高斯消元法（Gaussian elimination）具有行向后稳定性（row-wise backward stability）。
   • 还介绍了快速Vandermonde系统求解的稳定性分析（第22章）和FFT的误差界限（第24章）。

科学价值与应用意义

本书的科学价值在于： - 为数值算法的误差分析提供了系统化的理论框架，帮助研究人员理解有限精度算术对算法性能的影响。 - 通过严格的数学推导和实验验证，揭示了多种算法的稳定性条件，为算法设计提供了理论依据。

其应用意义包括： - 帮助工程师和科学家选择适合的数值方法，避免因舍入误差导致的错误结果。 - 为软件开发人员（如LAPACK库的开发者）提供优化算法的指导，提高数值软件的可靠性。

总结

《数值算法的精度与稳定性》是数值分析领域的里程碑式著作，既适合作为研究生教材，也是研究人员和工程师的必备参考书。其清晰的论述、严谨的分析以及丰富的实例使其成为理解有限精度计算问题的权威资源。第二版的更新内容进一步巩固了其在学术和工业界的重要地位。