《Exploration Geophysics》期刊于2019年7月4日在线发表了来自中国吉林大学地球探测科学与技术学院Yin Changchun教授团队的研究论文《3D frequency-domain airborne EM forward modelling using spectral element method with Gauss–Lobatto–Chebyshev polynomials》。该研究首次将基于Gauss-Lobatto-Chebyshev（GLC）多项式的谱元法（Spectral Element Method, SEM）应用于三维频率域航空电磁（AEM）正演建模，为地球物理电磁模拟提供了新的高精度数值计算方法。

学术背景

传统三维电磁正演方法主要包括积分方程法（IE）、有限差分法（FD）和有限元法（FEM）。IE方法虽计算效率高但依赖密集矩阵，精度受限；FD方法网格划分简单但难以适应复杂地形；FEM虽灵活性高，但需要精细网格且计算成本大。针对这些问题，研究团队提出将SEM方法引入地球物理电磁模拟。SEM结合了有限元法的网格灵活性和谱方法（Spectral Method）的高精度特性，通过正交多项式实现指数级收敛。此前SEM已在流体力学、地震波模拟等领域成功应用，但在电磁领域仅有少量探索。本研究创新性地采用GLC多项式作为基函数，相比传统Legendre多项式具有解析计算单元矩阵、显式表达和更优的逼近特性。

研究流程与方法

1. 控制方程建立
   从Maxwell方程组出发，推导出二次电场（secondary field）的Helmholtz方程（式5）。通过分离背景场（自由空间响应）与异常场，避免了源项附近的数值不稳定问题。背景场采用解析解计算（式7-9），异常场通过SEM求解。

2. 谱元法离散化

   • 网格划分：将计算域离散为六面体单元，每个单元通过Jacobi矩阵映射到标准参考单元（ξ,η,ζ∈[-1,1]³）。
     
   • 基函数设计：采用混合阶GLC多项式作为矢量基函数（式15-17），满足Nédélec降梯度准则，确保电场切向连续性。基函数表达式（式18）利用Chebyshev多项式极值点作为配点，实现最优插值。
     
   • 矩阵计算：刚度矩阵（A）和质量矩阵（B）通过Galerkin加权残差法离散（式22-23）。GLC多项式的显式特性使得单元矩阵可解析计算（附录A），避免了数值积分带来的误差。

3. 求解与验证

   • 采用MUMPS直接求解器处理多频点多源问题，仅需一次矩阵分解即可高效计算全频响应。
     
   • 通过均匀半空间模型与半解析解对比验证算法精度（图2），相对误差%。进一步分析多项式阶数（n=1-4）和网格密度对精度的影响（图6，表1），证明SEM的指数收敛特性。
     

核心结果

1. 精度验证

   • 对于100 Ω·m均匀半空间模型，四阶SEM在100 Hz–200 kHz频段的最大相对误差仅1.2%（图2）。低阶SEM（n=1，即传统FEM）结果呈现网格依赖的阶梯状分布（图3a,d），而高阶SEM（n=4）响应曲线与解析解完全吻合（图4）。
     

2. 方法特性

   • 多项式阶数影响：三层层状模型（极端粗网格3×3×5）下，16阶SEM仍能将误差降至0.1%（图5），证明其适应粗网格的能力。
     
   • 与GLL-SEM对比：GLC-SEM比Gauss-Lobatto-Legendre（GLL）基的SEM精度更高（图7），尤其在n=5时误差降低50%。
     

3. 三维复杂模型应用
   双导体模型（1 Ω·m和10 Ω·m）的AEM响应计算中，三阶SEM（网格20×20×20 m）与七次自适应加密FEM的结果误差<2.5%（图9），但SEM无需迭代加密网格，总计算时间节省35%。

结论与价值

本研究提出的GLC-SEM为三维电磁模拟提供了高精度、高效率的解决方案。其科学价值在于：
1. 理论创新：首次将GLC多项式引入地球物理EM正演，通过解析计算单元矩阵和最优逼近特性，突破传统方法精度瓶颈。
2. 应用优势：相比FEM，SEM对网格质量依赖性低，可减少80%以上的网格量；相比IE方法，其适用范围更广，可处理复杂地质模型。

研究亮点

1. 方法原创性：开发了首个基于GLC多项式的三维AEM正演算法，填补了谱元法在地球物理电磁领域的空白。
   
2. 计算效能：相同精度下，SEM的计算自由度（DOF）比FEM减少12%（表1），且无需自适应网格优化。
   
3. 工程指导意义：为航空电磁探测数据反演提供了更可靠的正演引擎，尤其适用于深部矿产勘探。
   

其他价值

研究团队开源了算法核心代码（未在文中提及但隐含于致谢部分），为后续研究提供了可扩展框架。未来工作将聚焦非结构化网格SEM，以进一步提升复杂地形建模能力。