本文提出了一种在奈特不确定性（Knightian uncertainty）下纳入环境、社会和治理（ESG）风险的稳健均值–方差投资组合优化模型。作者为Deutsche Bundesbank的Lukas Müller与ValueCo的Mathieu Joubrel，论文发表于Finance Research Letters第85卷（2025年），文章编号108056。研究的核心思路是：利用ESG评分构造椭球不确定性集合，以此刻画资产预期收益中的ESG相关模糊性。与传统的ESG投资组合模型不同，该模型不直接施加ESG约束，也不把可持续性最大化显式加入目标函数，而是通过使不确定性半径依赖于ESG评分，让优化问题在ESG不确定性增大时自然偏向更可持续的资产。
从学术背景看，经典马科维茨均值–方差模型假定投资者能够准确知道预期收益和协方差矩阵，但现实中预期收益往往存在估计误差、信息不完整和模型误设等问题。奈特不确定性强调可度量风险与不可量化不确定性之间的区别。稳健投资组合理论已经发展出处理参数模糊性的方法，例如Goldfarb和Iyengar（2003）在椭球漂移集合下重构均值–方差选择，Garlappi等（2006）采用多先验视角，Pflug等（2012）证明在高模糊性下朴素分散化可能成为最优。与此同时，ESG投资研究也在迅速发展。Pedersen等（2021）构建了ESG有效前沿，Abate等（2024）发现ESG筛选能够改善下行保护但会增加估计风险，Chibane和Joubrel（2024）则指出忽视ESG评级噪声会导致组合既不够绿色也不够有效。本文的研究动机在于：已有文献通常通过硬约束、启发式评分最大化或外生情景分析来处理ESG问题，尚未在收益模糊性和ESG不确定性之间建立联合处理框架。作者的目标是将ESG评分直接嵌入漂移模糊集合，从而在均值–方差问题中把定性可持续性信息转化为定量惩罚项，为ESG相关不确定性如何推动投资组合向绿色资产倾斜提供严格刻画。
在方法和工作流程方面，作者首先定义ESG评分取值范围为{1,…, Smax}，评分越低表示ESG风险越大。通过严格递减变换函数F将ESG评分映射为正数，并构造对角矩阵Γ(F)。对于给定的名义收益向量μ̄和正数ε，ESG依赖的不确定性集合被定义为U(F) = {μ ∈ R^N : ||Γ(F)^{-1}(μ − μ̄)||₂ ≤ ε}。该集合是一个N−1维椭球，其半径与ESG评分相关。引理1给出了该集合的结构性质：对于任意资产i，其顶点与名义收益μ̄的欧氏距离为εF(s_i)；当ESG评分较低时，对应顶点与名义收益的距离更大，说明参数不确定性更强；在凸变换下，低评分区间每下降一个评分等级所带来的距离增加更大，即不确定性随ESG表现恶化呈非线性上升。作者给出的自然变换为F(s)=exp(−β(s−1)/(Smax−1))，其中β>0控制曲率。这一函数在离散评分域上严格递减且凸，把评分映射到(0,1]区间，能够突出低评分区域的差异，同时缩小高评分之间的区分度。
在优化问题构建上，作者将经典均值–方差问题扩展为max-min稳健形式：max_w min_μ (w^Tμ − (γ/2)w^TΣw)，约束为w∈Ω且μ∈U(F)。这里内层最小化反映投资者对最坏情形下预期收益的考虑，刻画了奈特不确定性。命题1给出了关键的等价重构：上述稳健问题等价于最大化w^Tμ̄ − (γ/2)w^TΣw − ε||Γ(F)w||₂，约束为w∈Ω。证明过程使用拉格朗日方法求解内层最小化问题。通过引入拉格朗日乘子λ，由稳定性条件得到μ = μ̄ − (1/(2λ))Γ(F)²w。代入椭球约束后，可确定最优λ为(1/(2ε))||Γ(F)w||₂。最终得到最坏情形下的漂移项μ*(w) = μ̄ − εΓ(F)²w/||Γ(F)w||₂。将其代入原目标函数即得到命题1中的等价最大化问题。这一重构使得原问题分解为经典均值–方差项与ESG惩罚项两个部分，而且ESG惩罚项的系数恰好是ε。需要注意的是，在该模型中，ε越大，ESG相关不确定性对投资组合的惩罚越强，因此组合会向更可持续的资产倾斜。
在极限行为分析中，作者将等价目标函数拆分为两个子问题。第一个子问题为经典均值–方差问题，其最优权重记为w_mv；第二个子问题为最小化ε||Γ(F)w||₂，其最优权重记为w_esg。引理2在允许卖空和不允许卖空两种权重约束下给出了w_esg的解析表达式：w_esg = Γ(F)^{-2}1_N/(1_N^TΓ(F)^{-2}1_N)。该权重完全由ESG评分决定，与预期收益和协方差矩阵无关。命题2进一步证明了最优权重w(ε)在ε→0时收敛于w_mv，在ε→∞时收敛于w_esg。第一个极限结果直接来自等价重构和w_mv的定义。第二个极限结果采用类似Pflug等（2012）的证明方法，通过构造集合A_n并利用其嵌套紧性，证明对任意δ>0，存在足够大的ε使w(ε)与w_esg的欧氏距离小于δ。这一结果说明，单一的不确定性厌恶参数ε可以控制组合在传统金融绩效与纯粹ESG驱动配置之间的连续过渡：当ε很小时，投资者几乎只关心经典均值–方差表现；当ε很大时，组合完全由ESG评分决定，而不考虑预期收益和风险。
在数值示例中，作者考虑N=2的无相关风险资产，波动率均为0.25，协方差矩阵为对角阵，名义收益均为0.05，风险厌恶系数γ=2，选取例1中的变换且β=2，权重约束为不允许卖空。此时经典马科维茨解为w_mv=(0.5, 0.5)^T。作者将资产1的ESG评分固定为s1=8，令资产2的ESG评分从1变化到10，并计算在不同ε值下的最优权重。表1显示，当s2较低时，资产1的权重显著高于资产2。例如，当s2=1且ε=0.2时，最优权重为(0.67, 0.33)^T；当s2=1且ε=0.1时，最优权重为(0.59, 0.41)^T。而当s2较高时，资产2的权重会超过资产1。例如，s2=10且ε=0.2时，最优权重为(0.48, 0.52)^T。这一数值结果说明，即使没有显式ESG约束，模型仍然会根据ESG风险自动降低对低ESG资产的配置。而且ε越大，这种倾斜越明显，与命题2的理论结果一致。
在结论部分，作者指出，将ESG信息直接嵌入稳健均值–方差问题的模糊集合，可以同时实现参数风险保护与可持续投资目标。由于椭球半径随ESG评分恶化而扩大，优化器会自动减少对可持续发展表现较差公司的风险暴露。作者还给出了不确定性厌恶参数与经典马科维茨组合、纯粹ESG驱动配置之间的闭式关系，为实践者提供了一个表达金融与非金融不确定性观点的简单工具。特别是，本文证明了ESG依赖不确定性能够推动风险厌恶型投资者进行更可持续的投资决策。
本文的亮点主要体现在三个方面。第一，模型创新性地把ESG评分引入漂移不确定性集合的半径，使得ESG因素不是作为额外约束或评分最大化目标出现，而是作为收益模糊性结构的一部分被内部化。第二，优化问题经过重构后，目标函数自然地分解为传统均值–方差项和ESG惩罚项，且惩罚强度由单一参数ε控制。第三，本文在极限情形下给出了解析收敛结果，并且数值示例验证了模型能够在不引入硬性ESG约束的前提下产生更可持续的资产配置。
此外，作者也讨论了模型的局限和未来研究方向。该框架为单期模型，尚未扩展到动态多期设置；椭球不确定性集合主要是为了可解性，其他形状如多面体或Wasserstein球可能更真实地刻画肥尾或非对称ESG冲击；如何从数据中校准ESG评分到不确定性半径的映射仍是一个开放问题；异质性投资者偏好、行为或制度驱动因素，以及前瞻性气候情景分析等也可以进一步整合到该框架中。总体而言，本文在稳健优化与可持续金融交叉领域提供了一个理论基础扎实且具有实际可操作性的方法。