本文属于类型a：单一原创科学研究。

研究报告

一、 研究概述

本研究由中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室的周志登（Zhideng Zhou）、李炳林（Binglin Li）、杨晓雷（Xiaolei Yang）和杨子轩（Zixuan Yang）等学者完成。该研究成果题为《基于深度学习的湍流数据鲁棒超分辨率重建模型》（A robust super-resolution reconstruction model of turbulent flow data based on deep learning），于2022年发表在期刊《Computers and Fluids》上。

二、 研究背景与目的

在湍流研究中，高分辨率流场数据对于解析流动结构和统计特性至关重要。直接数值模拟（Direct Numerical Simulation, DNS）能够解析所有尺度的湍流运动，但其计算成本随雷诺数（Reynolds number）的三次方增长，使得在高雷诺数下的应用极其昂贵。大涡模拟（Large-Eddy Simulation, LES）虽然通过较低分辨率的网格降低了计算成本，但亚格子尺度的未解析流动信息在许多应用中（如湍流声学、微小粒子输运）同样关键。现有的流场重建模型，如近似反卷积方法（Approximate Deconvolution Method, ADM）和随机模型等，存在无法重建亚格子尺度湍流或仅能生成高斯分布湍流等局限性。近年来，深度学习方法被应用于流场重建，但多数模型处理的是二维数据，且泛化能力有限。

本研究旨在开发一种新的湍流三维超分辨率（Turbulence Volumetric Super-Resolution, TVSR）模型，基于卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN），直接从低分辨率的三维流场数据中重建高分辨率湍流流场。该研究的主要目标包括：1) 提出一种能够处理三维流场数据的模型，以更合理地捕捉湍流的三维特性；2) 发展一种分块式（patchwise）训练策略，使模型具有从低雷诺数数据向高雷诺数数据泛化的能力；3) 验证模型不仅对滤波后的DNS（Filtered DNS, FDNS）数据有效，也能对实际大涡模拟（LES）获得的低分辨率数据进行高分辨率重建。

三、 研究流程与方法

本研究的工作流程可分为数据准备、模型构建与训练、以及先验与后验测试四个主要部分。

1. 数据准备 研究团队首先通过直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）生成各向同性湍流（homogeneous isotropic turbulence）的流场数据。DNS采用标准伪谱方法（pseudo-spectral method）在周期性立方域内求解不可压缩Navier-Stokes方程，并通过确定性力场维持统计稳态湍流。研究人员生成了四个雷诺数（Reλ = 64.43, 128.78, 205.51, 302.04）的DNS数据，对应的网格点数（N³）从128³到1024³不等，以确保空间分辨率参数kmaxη = 1.3。LES则在与DNS相同的代码框架下进行，但采用了更低的网格分辨率，并引入了基于谱涡粘模型（spectral eddy-viscosity model）的亚格子应力模型。

为了生成训练TVSR模型所需的成对高低分辨率数据，研究对DNS数据进行了滤波操作。具体使用了三类滤波器：高斯滤波器（Gaussian filter）、盒式滤波器（Box filter）和尖锐谱滤波器（sharp spectral filter）。滤波后的DNS（FDNS）流场通过与滤波器卷积生成，然后再从FDNS数据中每隔一定网格点采样，形成低分辨率数据，其与高分辨率DNS数据的分辨率比为r = 4。

2. 模型构建与训练 TVSR模型的核心是建立一个从低分辨率数据（I_LR）到高分辨率数据（I_HR）的映射函数（F）。该模型网络结构主要由残差块（residual blocks）和上采样模块（upscale modules）组成，通过直接处理三维数据来学习体素间的特征。残差块用于深度特征提取，每个残差块包含两个三维卷积层（3D convolutional layers）和一个ReLU（rectified linear unit）激活层。上采样模块则由一个三维卷积层和一个三维转置卷积层（3D transposed convolutional layer）组成，用于将数据分辨率提升2倍，通过级联两个上采样模块实现r=4的超分辨率。

本研究的一个核心创新是采用分块式（patchwise）训练策略。此策略基于湍流的性质：当两点间距离足够大时，其速度相关性会减弱。训练时，输入是16³的低分辨率块，输出是64³的高分辨率块。训练数据仅使用了低雷诺数（Reλ = 64.43和128.78）的FDNS/DNS数据对，且数据块之间有重叠区域以减小边缘速度梯度不连续性。模型权重通过ADAM优化器（Adam optimizer）进行训练，损失函数（loss function）为重建高分辨率数据与真实DNS数据的均方误差（mean square error），并加入了L2正则化项（l2 regularization）以防止过拟合（overfitting）。研究还探讨了残差块数量和卷积核数量对模型精度的影响，最终选定残差块数m=8和卷积核数f=128作为模型超参数（hyperparameters）。

3. 先验测试（A Priori Test） 在先验测试中，研究人员使用与训练数据无重叠的、来自相同低雷诺数的测试数据，评估TVSR模型从FDNS数据重建DNS流场的能力。测试比较了瞬时流场、能谱（energy spectra）、速度梯度概率密度函数（Probability Density Functions, PDFs）等。同时，为了测试模型的泛化能力，还将模型应用于训练时未使用的高雷诺数（Reλ = 205.51和302.04）FDNS数据，并将其重建结果与DNS结果及运动学模拟（Kinematic Simulation, KS）模型的重建结果进行对比。

4. 后验测试（A Posteriori Test） 后验测试更具挑战性，旨在检验模型对实际LES数据的重建效果。此处，模型需要从LES得到的低分辨率流场中重建高分辨率流场，而LES的隐式滤波（implicit filter）与训练时采用显式滤波器不同。研究发现，LES的隐式滤波更接近尖锐谱滤波，因此选用了对应尖锐谱滤波的TVSR模型进行测试。为了改善因LES在截断尺度附近能量低估的问题，研究人员还提出了混合ADM/TVSR模型。该混合模型首先利用近似反卷积方法（ADM）来恢复LES在解析尺度上的速度脉动，然后再应用TVSR模型进行超分辨率重建。

四、 主要结果与讨论

1. 先验测试结果 在低雷诺数下，与高斯滤波器对应的TVSR模型（TVSR_GF）展现出优异的性能。重建的瞬时流场与DNS结果在视觉上高度一致（见原文图3），且能谱（见原文图4a）在整个波数范围，特别是未解析尺度上，与DNS数据吻合良好，表明速度脉动在各个尺度上都得到了准确重建。与尖锐谱滤波器对应的模型（TVSR_SF）虽然低估了能谱，但相比于FDNS数据，它仍能重建出部分未解析尺度的能量（见原文图4b）。这种性能差异被归因于尖锐谱滤波在物理空间中的全局相关性，这与模型采用的分块式重建策略存在矛盾。

在向高雷诺数泛化的测试中，TVSR_GF模型表现出色。在Reλ = 302.04时，TVSR重建的速度场比KS模型产生的结果更光滑、噪声更少，且与DNS参考场更一致（见原文图5）。最关键的是，TVSR模型在无需DNS能谱数据作为输入的情况下，就能精确预测高雷诺数下的能谱（见原文图6a），而这是KS模型所无法做到的。此外，TVSR模型对纵向和横向速度梯度的概率密度函数（PDF）的重建也显著优于KS模型，特别是在大梯度值区域，其预测结果与DNS数据紧密跟随（见原文图7、图8），表明模型对湍流小尺度间歇性结构有较好的重建能力。对基于Q判据（Q-criterion）识别的涡结构分析也证实，TVSR重建得到的涡量场结构与DNS结果高度相似，其PDF分布也比KS模型更精确（见原文图9、图10）。研究认为，这种优越的泛化能力源于两个原因：一是小尺度湍流的尺度相似性，使得用Kolmogorov尺度无量纲化后的速度在不同雷诺数下具有相似性；二是分块式重建策略减少了训练中卷入的大尺度信息，从而减弱了雷诺数的影响。

2. 后验测试结果 在将TVSR模型直接应用于LES数据时，发现模型只能部分恢复亚格子尺度的能谱，重建的涡结构比DNS结果稀疏，其Q判据的PDF预测甚至逊于ADM（见原文图14）。这是因为LES不仅存在因滤波导致的DNS信息缺失，还存在因亚格子模型不精确带来的误差，而TVSR仅训练用于恢复前者。混合ADM/TVSR模型的提出成功解决了这一问题。ADM有效补偿了LES在截断波数附近的能量亏损，之后TVSR的应用使得重建的高分辨率流场在视觉上（涡浓度）和统计上都显著改善。其能谱（见原文图12）、速度梯度PDF以及Q判据PDF（尤其在大负值区域，这是涡结构的重要指示）的预测结果均更加接近DNS参考数据。

五、 研究结论与价值

本研究成功开发了一种名为TVSR的卷积神经网络模型，用于从低分辨率三维流场数据中高精度地重建高分辨率湍流流场。研究得出结论：1) 直接处理三维数据块的TVSR模型能有效学习并重建湍流的三维结构；2) 提出的分块式训练策略是成功实现模型泛化的关键，使得利用低雷诺数数据训练的模型能够可靠地应用于高雷诺数流场的重建；3) 结合ADM的混合TVSR模型为解决实际LES数据超分辨率重建问题提供了可行的途径，能够显著改善从LES流场中恢复未解析尺度湍流运动的效果。

本研究的科学价值在于，它不仅提供了一种高精度的流场重建工具，更重要的是探索并验证了深度学习模型在流体力学问题中的泛化能力，揭示了小尺度湍流的尺度相似性在数据驱动建模中的核心作用。其应用价值体现在为高雷诺数湍流研究提供了一种经济高效的替代方案：研究者可以利用计算成本较低的低雷诺数DNS数据进行模型训练，然后结合低成本的LES，重建出具有DNS级别小尺度结构的高分辨率流场，从而突破现有计算能力的限制，更深入地研究如湍流声学、粒子动力学等对微小尺度敏感的物理问题。

六、 研究亮点

本研究的亮点主要体现在三个方面：首先，模型的创新性，与以往多数处理二维切片的模型不同，TVSR模型直接对三维体素数据进行卷积操作，这在物理上更符合湍流的三维本质，并且对于给定的网格分辨率比r，能利用的低分辨率信息量是二维方法的r倍。其次，方法的鲁棒性，本工作首次在湍流超分辨率模型中系统性地检验并实现了从低雷诺数向高雷诺数的泛化能力，这对于实际应用至关重要。最后，应用的实效性，通过结合ADM，成功地将模型的应用范围从理想化的滤波DNS数据扩展到了更具现实意义的LES数据，证明了其在真实仿真环境下的潜力，为LES中亚格子尺度信息的重建提供了新的途径。