非线性下降方向的频域全波形反演研究学术报告

作者及机构
本研究由Yu Geng、Wenyong Pan和Kristopher A. Innanen共同完成，三位作者均来自加拿大卡尔加里大学（University of Calgary, Alberta, Canada）地球科学系。该研究发表于《Geophysical Journal International》期刊，具体发表日期为2018年1月13日。

学术背景

研究领域与动机
全波形反演（Full Waveform Inversion, FWI）是一种高分辨率的非线性反演方法，广泛应用于地震速度建模。然而，传统FWI方法依赖于线性化近似（如Born近似），在处理高角度反射或高对比度介质时存在局限性，导致反演结果易陷入局部极小值。此外，低频数据缺失时，传统FWI难以恢复长波长速度结构。

本研究旨在提出一种非线性下降方向的FWI方法，通过将高阶散射项纳入灵敏度核（sensitivity kernel），提升反演对非线性反射振幅的适应性，从而改善收敛速度、低波数成分的恢复能力以及多参数反演的区分度。

理论基础
1. FWI的局限性：传统FWI基于高斯-牛顿（Gauss-Newton）方法，其更新方向仅依赖一阶散射（Born近似），导致对高角度反射或强对比介质的反演误差与（Δs/s₀）²成正比（Δs为参数跳跃量，s₀为背景模型）。
2. 非线性散射理论：通过将灵敏度核的变分对象从当前模型sₙ改为待更新模型sₙ₊₁，自然引入高阶散射项，形成非线性灵敏度核。
3. 逆散射方法：利用当前数据残差计算高阶散射贡献，构建更准确的下降方向。

研究流程与方法

1. 非线性灵敏度核的构建

研究提出了一种两阶段迭代框架：
- 内循环：基于Born近似，从当前数据残差中反演扰动模型Δsₙ。
- 外循环：利用Δsₙ生成非线性灵敏度核，计算包含高阶散射项的下降方向。

关键公式：
- 非线性灵敏度核的表达式为：
[ \frac{\partial p}{\partial s} \approx \left( \frac{\partial p}{\partial s} \right)_0 + \left( \frac{\partial p}{\partial s} \right)_1 + \cdots ]
其中，零阶项为传统FWI核（式14），一阶项包含δg和δp（式15-17），代表单次散射与Δsₙ的相互作用。

2. 数值实现

• 频率域算法：采用九点有限差分法求解声波方程（式1），模型参数为平方慢度s®=c⁻²®。
  
• 多尺度策略：按频率由低到高依次反演，频率间隔由最大偏移距与深度比（hₘₐₓ/z）决定（式53）。
  
• 测试模型：基于Marmousi模型生成合成数据，设置461个接收点和46个震源，验证方法在浅层和深层结构的重建能力。
  

3. 解析验证

通过单界面反射模型的解析解，对比了非线性FWI与传统FWI的更新误差：
- 传统高斯-牛顿更新的误差∝（Δs/s₀）²（式51）。
- 二阶非线性更新的误差∝（Δs/s₀）³（式52），显著提升了高角度反射的精度（图5）。

主要结果

1. 收敛性提升：在Marmousi模型测试中，非线性FWI（NFWI）比传统方法（如最速下降法、截断牛顿法）收敛更快，且对低频数据缺失更具鲁棒性（图8-11）。
   
2. 深层结构重建：通过引入高阶散射路径（类似反射波形反演，RWI），NFWI能同时更新背景模型和扰动模型，改善深部低波数成分的恢复（图12）。
   
3. 多参数区分：非线性灵敏度核在高角度反射数据中更准确地分离速度与密度参数，减少AVO（振幅随偏移距变化）反演中的交叉干扰。
   

结论与意义

科学价值
1. 理论创新：首次将非线性散射项显式纳入FWI的下降方向，为平衡“直接非线性”与“迭代线性”反演提供了新框架。
2. 应用潜力：适用于复杂介质（如盐丘、各向异性地层）的高分辨率速度建模，尤其在低频数据有限时仍能稳定收敛。

亮点
- 高阶散射项的作用：通过传输路径（散射点到震源/接收点的波场）增强低波数更新（图1）。
- 两阶段算法：内循环反演扰动、外循环更新模型的策略，兼顾计算效率与非线性精度（表1）。
- 解析与数值验证结合：通过单界面模型（图3-5）和Marmousi复杂模型（图6-12）的双重验证，强化结论普适性。

其他贡献

• 提出了基于散射角度的频率选择策略（式53），优化了波数覆盖范围。
  
• 开源代码实现为后续研究提供了工具基础。
  

本研究为FWI在油气勘探、碳封存监测等领域的应用提供了更稳健的算法支持，尤其对深层目标体的成像具有重要意义。